福建省厦门市2020届高三线上质量检查数学（理科）试题 Word版含解析

福建省厦门市2020届高三线上质量检查数学（理科）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 厦门市2020届高中毕业班3月线上质量检查（一）‎ 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A. －2 B. －1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算化简，根据其为纯虚数，实部为零、虚部不为零，求得的值.‎ ‎【详解】依题意，为纯虚数，故，解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解指数不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由得，由于，所以.由，解得或，所以.所以.‎ 故选：B - 26 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法、一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎3.随机变量，若，，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布的对称性列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于随机变量，满足，，‎ ‎，根据正态分布的对称性可知.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.‎ ‎4.直线过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，，若的中点到轴的距离为1，则的值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线中，过焦点的弦长公式列方程，由此求得的值.‎ ‎【详解】设,由于的中点到轴的距离为，所以.根据抛物线中过焦点的弦长公式得，即.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查抛物线中过焦点的弦长公式，属于基础题.‎ ‎5.斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…是意大利数学家列昂纳多.斐波那契发明的.如图是一个与斐波那契数列有关的程序框图.若输出的值为88，则判断框中应该填入（ ）‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运行程序，根据输出的的值为，判断出正确选项.‎ ‎【详解】运行程序，，，，判断否，，，判断否，，判断否，，判断否，，判断是，输出.故应填 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果填写条件，属于基础题.‎ ‎6.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】∵非零向量，满足， ‎ - 26 -‎ ‎∴平方得，即 ， 则，由， 平方得得，即则， ‎ 则向量与的夹角的余弦值 ， ， 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．‎ ‎7.已知两条直线，，两个平面，，，，则下列正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，当时，画出图象如下图所示，由图可知，，故A选项正确.‎ 对于B选项，当时，可能，如下图所示，所以B选项错误.‎ - 26 -‎ 对于CD选项，当时，可能，如下图所示，所以CD选项错误.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎8.记数列的前项和为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得数列的通项公式，由此求得.‎ ‎【详解】依题意，‎ 当时，，解得；‎ 当时，由得，两式相减并化简得.‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.‎ - 26 -‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎9.函数的定义域为，其导函数为，，且为偶函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及为偶函数判断出函数的单调性和对称性，由此判断出和的大小关系.‎ ‎【详解】由于为偶函数，所以函数关于对称.由于，所以当时，递减，当时，，递增.所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.‎ ‎10.在三棱锥中，，，，，分别是棱，的中点，以下三个结论：①；②平面；③与一定不垂直，其中正确结论的序号是（ ）‎ A. ② B. ①② C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过线面垂直的性质，证得①正确.通过线面平行的判定定理，证得②正确.当 - 26 -‎ 时，可推出，由此判断③错误.‎ ‎【详解】对于①，设是的中点，连接，由于，，所以，所以平面，所以，故①正确.‎ 对于②，由于，分别是棱，的中点，所以，所以平面，故②正确.‎ 对于③，当时，由于，所以平面，所以，故③错误.‎ 综上所述，正确的为①②.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查线面平行、线线垂直的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于的渐近线的直线交于点．若，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：取双曲线的渐近线为，因为，，‎ 所以过作平行于渐近线的直线的方程为，‎ - 26 -‎ 因为，所以直线的方程为，‎ 联立方程组可得点的坐标为，因为点在双曲线上，‎ 所以，即，‎ 因为，所以，整理得，因为，所以.故选D.‎ 考点：双曲线的性质.‎ ‎12.定义.若函数，数列满足（），若是等差数列，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的解析式，根据是等差数列，取得的取值范围.‎ ‎【详解】由于定义，而函数，由解得或，画出的图像如下图所示，‎ - 26 -‎ 由图可知.‎ 由于数列满足（），且是等差数列.当时，，，……，推辞类推，数列 是首项为，公差为的等差数列，符合题意.‎ 当时，，要使是公差为的等差数列，则需，解得或不符合.由，解得或.则当时，为常数列；当时，为常数列.此时为等差数列.‎ 当时，由于，故不能构成公差为的等差数列，也不是常数列，不符合题意.‎ 综上所述，的取值范围是 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查等差数列的知识的运用，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ - 26 -‎ ‎13.记等差数列的前项和为，若，则______.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，求得的值.‎ ‎【详解】由于数列是等差数列，则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎14.将2名教师，6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案总数为______.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先安排一个老师到甲地，然后安排三个学生到甲地，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数.‎ ‎【详解】先安排一个老师到甲地方法数有种，再安排三个学生到甲地方法数有种，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数为种.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查分步乘法计数原理，考查组合数的计算，属于基础题.‎ ‎15.已知函数（，）图象的一个对称中心为，一条对称轴为，且的最小正周期大于，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的对称中心、对称轴和最小正周期的范围列方程和不等式，由此求得的值.‎ ‎【详解】由于函数（，）图象的一个对称中心为 - 26 -‎ ‎，一条对称轴为，且的最小正周期大于，所以，第二个式子减去第一个式子并化简得，由于，所以取，，代回第一个式子得，由于，故取，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数的对称中心、对称轴、周期求参数，属于中档题.‎ ‎16.函数有两个零点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，转化为的图象有两个交点，结合导数与切线，求得的取值范围.‎ ‎【详解】由解得的定义域为.令，得，依题意 的图象有两个交点.令，则，所以是奇函数，且在区间上递增，且.‎ 当时，，只有一个交点，不符合题意.‎ 当时，画出图象如下图所示，，所以 - 26 -‎ ‎，即在处切线的斜率为，切线方程为.要使的图象有两个交点，则需.‎ 同理，当时，在处切线的斜率为，切线方程为，要使的图象有两个交点，则需.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.的内角，，所对的边分别为，，.已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若在边上，，的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1‎ - 26 -‎ ‎）利用正弦定理化简已知条件，然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换，由此求得的值，进而求得的大小.‎ ‎（2）利用三角形的面积求得，由余弦定理求得，利用勾股定理证得，由此求得进而求得的值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 因为在中，，，‎ 所以，且，‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，所以，，，‎ 因为的面积为，所以，解得，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想.‎ ‎18.如图，三棱柱中，，，平面.‎ - 26 -‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先由平面证得，根据四边形是菱形证得，由此证得平面，进而证得.‎ ‎（2）首先根据“直线与平面所成的角为”得到.以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为平面，所以，‎ 因为，所以四边形是菱形，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 所以.‎ ‎（2）因为与平面所成的角为，，‎ 所以与平面所成的角为，‎ 因为平面，‎ 所以与平面所成的角为，‎ 所以，‎ - 26 -‎ 令，则，，，‎ 以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立如图空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 因为，‎ 所以，平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 令，则，，，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面位置关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想.‎ ‎19.某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参加活动的男生、女生各随机抽取20人，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直方图和茎叶图：‎ - 26 -‎ ‎（1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”.根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关 男生 女生 合计 安全通 非安全通 合计 ‎（2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2女，设其中“安全通”的人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附：参考公式，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为“安全通”与性别有关（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据，计算并填写好列联表.计算出 - 26 -‎ 值，由此判断没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.‎ ‎（2）根据相互独立事件概率乘法公式，结合男生、女生中安全通的人数，计算出分布列，进而求得数学期望.‎ ‎【详解】（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为6人，非“安全通”为14人，男生样本中“安全通”人数为人，非“安全通”的人数为8人，列出列联表如下：‎ 男生 女生 合计 安全通 ‎12‎ ‎6‎ ‎18‎ 非安全通 ‎8‎ ‎14‎ ‎22‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 假设：“安全通”与性别无关，‎ 所以的观测值为，‎ 所以没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.‎ ‎（2）由题知，随机选1女生为“安全通”的概率为0.3，选1男生为“安全通”的概率为0.6，的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ - 26 -‎ ‎0.0784‎ ‎0.3024‎ ‎0.3924‎ ‎0.1944‎ ‎0.0324‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图与直方图的应用，考查列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估计总体思想.‎ ‎20.已知点，分别在轴，轴上运动，，点在线段上，且.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与交于，两点，，若直线，的斜率之和为2，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）直线恒过定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由此得出两点的坐标，根据列方程，化简后求得点的轨迹方程.‎ ‎（2）设，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线方程和轨迹的方程，写出判别式和韦达定理，根据直线，的斜率之和为2列方程，求得的关系式，由此判断直线过点.当直线斜率不存在时，同样利用直线，的斜率之和为2列方程，由此求得直线的方程，此时直线也过点，由此判断出直线恒过定点.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 因为点在线段上，且，所以，，‎ - 26 -‎ 因为，所以，即，‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 当的斜率存在时，设：，‎ 由得，‎ 所以，即，‎ ‎，，‎ 因为直线，的斜率之和为2，所以，‎ 所以，即，所以，‎ 当时，满足，即，符合题意，‎ 此时：恒过定点，‎ 当的斜率不存在时，，，‎ 因为直线，的斜率之和为2，所以，‎ 所以，此时：，恒过定点，‎ 综上，直线恒过定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化思想.‎ ‎21.已知函数（，是自然对数的底数）.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ - 26 -‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得的导函数，对分成和两种情况，分类讨论的单调区间.‎ ‎（2）首先判断.解法一：构造函数，求得的导函数，对分成，两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围.解法二：当时，根据的单调性证得.当时，同解法一，证得此时不满足.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，由得，所以在上单调递减；‎ 由得，所以在上单调递增.‎ 综上，当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）解法一：‎ 当时，，即，‎ 所以，‎ 令，‎ 则 - 26 -‎ 若，则当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以当时，单调递增，所以 若，则，‎ ‎，‎ 由得，‎ 所以，‎ 所以，使得，且当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以当时，，不合题意 综上，的取值范围为.‎ 解法二：‎ 当时，，即，‎ 所以，‎ 若，由（1）知：在上单调递增，‎ 因为，所以，所以在上单调递增，‎ 所以当时，.‎ 若，‎ 令，‎ - 26 -‎ 则 所以，‎ ‎，‎ 由得，‎ 所以，‎ 所以，使得，且当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以当时，，不合题意.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的极坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，射线分别交，于，两点（异于极点），当时，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（1）利用，消去的参数将的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.‎ ‎（2）将射线分别于的极坐标方程联立，求得两点对应的，由此求得的表达式，求得的表达式，根据列方程，由此求得的值.‎ ‎【详解】（1）∵（为参数）‎ ‎∴曲线的普通方程为，即 ‎∵，，∴‎ ‎∴曲线的极坐标方程为 ‎（2）依题意设，，‎ ‎∴由得.由得.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵是圆的直径，∴.‎ ‎∴在直角中，‎ ‎∵在直角中，‎ ‎∴，即 ‎∴，即.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：，恒成立.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集.‎ ‎（2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，即 当时，不等式化，∴‎ 当时，不等式化为，此时无解 当时，不等式化为，∴‎ 综上，原不等式的解集为 ‎（2）要证，恒成立 即证，恒成立 - 26 -‎ ‎∵的最小值为－2，∴只需证，即证 又 ‎∴成立，∴原题得证 ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.‎ - 26 -‎ - 26 -‎