【数学】2020届一轮复习北师大版圆锥曲线的性质学案
第2讲 小题考法——圆锥曲线的性质
一、主干知识要记牢
圆锥曲线的定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝
2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||
＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准
方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几
何
性
质
轴
长轴长2a，
短轴长2b
实轴长2a，
虚轴长2b
离心率
e＝＝
(0
1)
e＝1
渐近线
y＝±x
二、二级结论要用好
1．椭圆焦点三角形的3个规律
设椭圆方程是＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c，0)，点P是椭圆上一点且点P的坐标是(x0，y0)．
(1)三角形的三个边长是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率．
(2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan ．
(3)椭圆的离心率e＝．
2．双曲线焦点三角形的2个结论
P(x0，y0)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．
(1)面积公式
S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．
(2)焦半径
若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a．
3．抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB的4个结论
(1)xA·xB＝；
(2)yA·yB＝－p2；
(3)|AB|＝(α是直线AB的倾斜角)；
(4)|AB|＝xA＋xB＋p．
4．圆锥曲线的通径
(1)椭圆通径长为；
(2)双曲线通径长为；
(3)抛物线通径长为2p．
5．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)．
(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长)．
(3)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．
(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．
三、易错易混要明了
1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置．
3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
1．(2018·邵阳模拟)设点P是双曲线y2－＝1上一点，A(0，－2)，B(0,2)，|PA|＋|PB|＝8，|PA|＞4，则|PB|＝( C )
A．2 B．
C．3 D．
解析 由于|PA|＞4, 所以|PB|＜4, 故|PA|－|PB|＝2a＝2，由于|PA|＋|PB|＝8, 解得|PB|＝3, 故选C．
2．(2018·珠海模拟)已知双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)，其焦点F(±c,0)(c＞0)，右顶点A(a,0)到双曲线M的一条渐近线距离为，以点A为圆心，c为半径的圆在y轴所截弦长为8，则双曲线M的方程为( A )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－y2＝9 D．x2－y2＝16
解析 因为右顶点A(a，0)到双曲线M的一条渐近线距离为，所以＝
.圆的方程为(x－a)2＋y2＝c2，令x＝0得，y＝±b，∴2b＝8.∴b＝4.又因为a2＋b2＝c2，∴c＝5，a＝3，故选A．
3．(2018·衡水中学押题卷)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是____．
解析 由椭圆的方程可知a＝2，c＝，
且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，
所以|PF1|＝3，|PF2|＝1．
又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，
所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝．
考点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
1．(2018·齐鲁名校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为B1、B2，左顶点为A，左焦点为F，若直线AB1与直线B2F互相垂直，则椭圆的离心率为( C )
A． B．
C． D．
解析 依题意，直线AB1与直线B2F互相垂直，kAB1·kB2F＝·＝－1，∴b2＝ac，a2－c2＝ac，∴e2＋e－1＝0，e＝，故选C．
2．(2018·三湘教育联盟联考)已知P(，)为双曲线C：x2－＝1上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为( B )
A． B．或
C． D．或
解析 由题意知，3－＝1解得b2＝3，则双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，所以P(，)到x±y＝0的距离为或，即或，故选B．
3．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝－1的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 根据题意，双曲线的方程为－＝1，则其焦点在x轴上，直线x＋y＝5与x轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9＋m＝25，解可得，m＝16，则双曲线的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±x，故选B．
4．(2018·株洲二检)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，其中一条渐近线与圆(x－c)2＋y2＝a2(c2＝a2＋b2，c＞0)交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是( D )
A． B．(，＋∞)
C．(1，) D．
解析 双曲线C：－＝1的右焦点为F(c,0)，一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆(x－c)2＋y2＝a2(c2＝a2＋b2，c＞0)的圆心(c,0)，半径为a，渐近线与圆交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，可得：a＞＞a，可得a2＞b2＞a2，又c2＝a2＋b2，b2＞a2，可得c2＞a2可得e＞，由a2＞b2可得e＜.所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选D．
考点三 直线与圆锥曲线的位置关系及简单应用
处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点
(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．
(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．
1．(2018·河南联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是( A )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0) D．(－2,0)
解析 因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故选A．
2．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于( B )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.故·的值为－．
3．(2018·湖北联考)抛物线y2＝4x的焦点为F，直线y＝x与该抛物线交于O、A两点(O为坐标原点)，与抛物线的准线交于B点，直线AF与抛物线的另一交点为C，则cos ∠ABC＝____．
解析 ⇒A(4,4)，⇒B(－1，－1)，AF：y＝(x－1)，⇒C∴∠ABC＝，cos ∠ABC＝．
4．(2018·唐山一模)已知P为抛物线y2＝x上异于原点O的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，
过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则＝__ __．
解析 如图，设P(t2，t)，则Q(t2,0)，
PQ中点H.M，
∴直线MQ的方程为： y＝(x－t2)，
令x＝0，可得yN＝，∴则＝＝．
