【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-7正弦定理与余弦定理学案
第7讲 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
变形形式
a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，
c＝2Rsin__C；
sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin__B＝absin C；
(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )
(4)在△ABC中，a2＋b20，cos B＝.又00，则cos B＝，故a＝5.
(2)由(1)知，sin B＝，由S＝acsin B＝9，得c＝6.
由b2＝a2＋c2－2accos B＝13，得b＝.
故△ABC的周长为11＋.
1．(2018·长沙市统一模拟考试)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为( )
A．6sin＋3 B．6sin＋3
C．2sin＋3 D．2sin＋3
解析：选C.设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin，于是△ABC的周长为2[sin A＋sin]＋3＝2sin＋3.选C.
2．(2018·安徽江南十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.在△ABC中，A＋B＋C＝π，
又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.
由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.
所以S1＝absin C＝···c2·sin C
＝sin A·sin B·sin C·，
S2＝πR2＝·，
所以＝＝＝，故选D.
3．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
解析：在△ABD中，设BD＝x，则
BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
在△BCD中，由正弦定理：＝，所以BC＝·sin 30°＝8.
答案：8
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为________．
解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝
，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.
答案：3
5.(2018·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.
(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；
(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．
解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°，
在△ABC中，＝⇒BC＝5.
因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，
在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.
在△BCD中，CD＝＝5.
(2)AC＋AB>BC＝10，
cos 60°＝⇒(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，
而AB·AC≤，
所以≤，
解得AB＋AC≤20，
故AB＋AC的取值范围为(10，20]．
6．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsin A＋4sin C＝4csin A.
(1)求a的值；
(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为，b＋c＝4，判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)由正弦定理可知，sin A＝，sin C＝，
则acsin A＋4sin C＝4csin A⇔a2c＋4c＝4ac，
因为c≠0，所以a2c＋4c＝4ca⇔a2＋4＝4a⇔(a－2)2＝0，可得a＝2.
(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，
所以S△OBC＝BC·OD.
又因为S△OBC＝，BC＝2，
所以OD＝，
在Rt△BOD中，tan∠BOD＝＝＝＝，
又0°<∠BOD<180°，所以∠BOD＝60°，
所以∠BOC＝2∠BOD＝120°，
因为O在△ABC内部，
所以∠A＝∠BOC＝60°，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A.
所以4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又b＋c＝4，
所以bc＝4，所以b＝c＝2，
所以△ABC为等边三角形．
