高中数学第2章常用逻辑用语章末综合测评含解析苏教版必修第一册

高中数学第2章常用逻辑用语章末综合测评含解析苏教版必修第一册

章末综合测评(二)　常用逻辑用语 ‎(满分：150分　时间：120分钟)‎ 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．命题“∀x>0，都有x2－x≤‎0”‎的否定是(　　)‎ A．∃x>0，使得x2－x≤0 B．∃x>0，使得x2－x>0‎ C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0‎ B　[全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“∀x>0，都有x2－x≤‎0”‎的否定是∃x>0，使得x2－x>0．故选B．]‎ ‎2．已知p：A＝∅，q：A∩B＝∅，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ A　[由已知A＝∅⇒A∩B＝∅，反之不成立，得p是q的充分不必要条件，所以选A．]‎ ‎3．“∃x∈R，x＋|x|<‎0”‎的否定是(　　)‎ A．∃x∈R，x＋|x|≥0 B．∀x∈R，x＋|x|≥0‎ C．∀x∈R，x＋|x|<0 D．∃x∈R，x＋|x|≤0‎ B　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“∃x∈R，x＋|x|<‎0”‎的否定是“∀x∈R，x＋|x|≥‎0”‎故选B．]‎ ‎4．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤‎0”‎的否定是(　　)‎ A．∃x∈R，x3－x2＋1<0　　‎ B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0‎ C．∀x∈R，x3－x2＋1>0　‎ D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0‎ C　[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>‎0”‎．故选C．]‎ ‎5．“a＝－‎1”‎是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的　(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B　[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－‎1”‎是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]‎ ‎6．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)‎ - 6 -‎ A．a<0 B．a>0 ‎ C．a<－1 D．a>1‎ C　[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C．]‎ ‎7．设a，b∈R，那么“＞‎1”‎是“a＞b＞‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由不等式的性质，a＞b＞0，可推出>1，而当>1，时，例如取a＝－2，b＝－1，显然不能推出a＞b＞0．故>1是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．]‎ ‎8．满足“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是(　　)‎ A　　　　B　　　　C　　　　D C　[由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．]‎ 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)‎ ‎9．a2＞b2的一个充分条件是(　　)‎ A．a＞|b| B．a＜b C．a＝b D．a0且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．(本题第一空2分，第二空3分)‎ ‎ (2,3)　　[由|x－‎2a|0，得－ab”是“a2>b‎2”‎的充分条件；‎ ‎③“a<5”是“a<3”的必要条件；‎ ‎④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．‎ 其中真命题的序号为 ．‎ ‎③④　[对于①，因为“a＝b”时ac＝bc成立，ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①错；对于②，a＝－1，b＝－2, a>b时，a2b2时，ab”是“a2>b‎2”‎的既不充分也不必要条件，故②错；对于③，因为“a<‎3 ”‎时一定有“a<5”成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，③正确；对于④“a＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④．]‎ 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：‎ ‎(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；‎ ‎(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0．‎ ‎[解]　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；‎ 又由于“任意”的否定为“存在一个”，‎ 因此，p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，‎ 即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．‎ ‎(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；‎ 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，‎ 因此，p：对任意一个x∈R，都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤‎0”‎．‎ ‎18．(本小题满分12分)已知命题p：x∈[1,3]，命题q：x∈{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　根据题意，p是q的必要不充分条件，‎ ‎{x|a≤x≤a＋1}⊆[1,3]，则a≥1且a＋1≤3，得1≤a≤2．‎ 当a＝1时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意；‎ - 6 -‎ 当a＝2时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意．‎ 所以，实数a的取值范围是1≤a≤2．‎ ‎19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．‎ ‎(1)p：正数的对数都是正数；‎ ‎(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0；‎ ‎(3)p：所有的一次函数都是单调函数；‎ ‎(4)p：有的三角形是等边三角形；‎ ‎(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；‎ ‎(6)p：有一个素数含三个正因数．‎ ‎[解]　(1) p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．‎ ‎(2) p：任意x∈R，x2－x＋1>0．真命题．‎ ‎(3) p：有些一次函数不是单调函数．假命题．‎ ‎(4) p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．‎ ‎(5) p：存在x0∈Z，使x的个位数字等于3．假命题．‎ ‎(6) p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．‎ ‎20．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．‎ ‎(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；‎ ‎(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B．‎ ‎[解]　(1)因为a，b∈R，a＋b＞0，‎ 所以a，b至少有一个大于0，所以pq．‎ 反之，若ab＞0，可推出a，b同号．‎ 但推不出a＋b＞0，即qp．‎ 综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．‎ ‎(2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q．‎ 而当A∪B＝B时，A⊆B，即qp，‎ 所以p为q的充分不必要条件．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜‎3a}且B≠∅．‎ ‎(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；‎ ‎(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵x∈A是x∈B的充分条件，‎ ‎∴A⊆B．‎ ‎∴ 解得a的取值范围为≤a≤2．‎ - 6 -‎ ‎(2)由B＝{x｜a＜x＜‎3a}且B≠∅，‎ ‎∴a＞0．‎ 若A∩B＝∅，∴a≥4或‎3a≤2，‎ 所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4．‎ ‎22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0．‎ ‎[证明]　法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，‎ 即＜．‎ 必要性：由＜，得－＜0，即＜0．‎ 因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0．‎ 所以＜的充要条件是xy＞0．‎ 法二：＜⇔－＜0⇔＜0．‎ 由条件x＞y⇔y－x＜0，故由<0⇔xy＞0．‎ 所以＜⇔xy＞0，‎ 即＜的充要条件是xy＞0．‎ - 6 -‎