2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 第1课时 两角差的余弦公式

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 第1课时 两角差的余弦公式

第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝___________________ 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β为任意角 cos αcos β＋sin αsin β 思考　两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？ 答案　公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋ 正·正. 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) 2.α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) 3.对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立.(　　) 4.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) × × × √ 2 题型探究 PART TWO 例1　计算下列各式的值. 一、给角求值 (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； 解　原式＝－sin 100° sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° 反思 感悟 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角 差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后 利用两角差的余弦公式求解. 跟踪训练1　化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； 解　原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 解　原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° 二、给值求值 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 延伸探究 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 反思 感悟 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察 已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行 拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β). 解　因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π. 所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) 三、给值求角 解　∵α，β均为锐角， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 反思 感悟 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三 角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. ∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 3 随堂演练 PART THREE 1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于 A.0 B.1 C.－1 D. 1 2 3 4 5 √ 解析　原式＝cos(47°－137°)＝cos(－90°)＝0. 1 2 3 4 5 √ 1 3 4 52 √ 所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α 1 3 4 52 4.cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ . 解析　原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] 1 3 4 52 5.cos 75°－cos 15°的值等于 . 解析　原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°) ＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°) 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： (1)两角差的余弦公式的推导. (2)给角求值，给值求值，给值求角. 2.方法归纳：角的构造. 3.常见误区：求角时忽视角的范围. 本课结束