高中数学模块综合测评含解析苏教版必修第一册
模块综合测评
(教师独具)
(时间120分钟,满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若集合A={x|x2+x-2≤0,x∈Z},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( )
A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}
C.{-2} D.{-2,-1}
C [A={x|x2+x-2≤0,x∈Z}={-2,-1,0,1},所以A∩B={-2} .故选C.]
2.已知角α的终边经过点P(3,-4),则tan α=( )
A. B.- C.- D.
C [由正切的三角函数定义可知tan α==-,故选C.]
3.已知命题p:A∩(∁UB)=∅,命题q:AB,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
B [因为A∩(∁UB)=∅⇔A⊆B,则q⇒p, pq.故p是q的必要不充分条件.]
4.函数f(x)=的定义域为( )
A.{x|-1
4} D.{x|x<-1}
B [函数f(x)=的定义域满足:解得00 B.cos α<0
C.tan α<0 D.sin α<0
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D [α=-4=-2π+(2π-4),<2π-4<π,故角α的终边在第二象限.sin α>0,cos α<0,tan α<0,故选D.]
7.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy( )
A.有最大值为1 B.有最小值为1
C.有最大值为 D.有最小值为
C [因为x>0,y>0,x+2y=2,
所以x+2y≥2,即2≥2,xy≤,
当且仅当x=2y,即x=1,y=时,等号成立.
所以xy有最大值,且最大值为.]
8.已知函数f(x)=sin 的图象关于点M及直线l:x=对称,且f(x)在不存在最值,则φ的值为( )
A. - B.- C. D.
C [函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于点M及直线l:x=对称.
则+=+=,∴T=,k∈N.
f(x)在不存在最值,则T≥π,故k=0时满足条件,T=2π,ω=1.
f=sin=0,则-+φ=mπ,∴φ=mπ+,m∈Z.
当m=0时满足条件,故φ=.故选C.]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是( )
A.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=x-3
B.若函数f(x)=x,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减
C.幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)
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D.若函数f(x)=,则对于任意的x1,x2∈[0,+∞)有≤f
CD [若幂函数的图象经过点,则解析式为y=x-,故A错误;
函数f(x)=x-是偶函数且在上单调递减,故在单调递增,B错误;
幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),C正确;
任意的x1,x2∈[0,+∞),要证≤f,即≤,
即≤,即(-)2≥0,易知成立,故D正确;故选CD.]
10.关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是( )
A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0
B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也为偶函数
C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)0,
故y=f(x)+g(x)单调递增,故D正确.故选BD.]
11.已知函数f(x)=1+(m∈R)为奇函数,则下列叙述正确的有( )
A.m=-2
B.函数f(x)在定义域上是单调增函数
C.f(x)∈(-1,1)
D.函数F(x)=f(x)-sin x所有零点之和大于零
ABC [因为函数f(x)=1+(m∈R)为奇函数,所以f(0)=1+=1+=0,解得m
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=-2,故A正确;因此f(x)=1-.又因为y=3x+1在定义域上是单调增函数,所以y=为单调减函数,
即f(x)=1-在定义域上是单调增函数,故B正确;令t=3x+1,t∈(1,+∞),所以f(t)=1-在t∈(1,+∞)上的值域为(-1,1),故C正确;函数F(x)=f(x)-sin x所有零点可以转化为f(x)=sin x的两个函数的交点的横坐标,因为f(x)和y=sin x都为奇函数,所以若有交点必然关于原点对称,那么其和应等于零,如图,故选项D错误.故选ABC.]
12.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式:s=,即等价于现在的s=hcot φ,我们称y=cot x为余切函数,则下列关于余切函数的说法中正确的是( )
A.函数y=cot x的最小正周期为2π
B.函数y=cot x关于(π,0)对称
C.函数y=cot x在区间(0,π)上单调递减
D.函数y=tan x的图象与函数y=cot x的图象关于直线x=对称
BC [y=cot x==,画出函数图象,如图所示:
故函数的最小正周期为π,关于(π,0)对称,区间(0,π)上单调递减.
且函数y=tan x的图象与函数y=cot x的图象不关于直线x=对称.
故选BC.]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.函数y=sin x-tan x在[-2π,2π]上零点的个数为________.
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5 [由y=sin x-tan x=0得sin x=tan x,
即sin x=0.
∴sin x=0或1-=0,即x=kπ(k∈Z),
又-2π≤x≤2π,∴x=-2π,-π,0,π,2π,
从而图象的交点个数为5.]
14.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},∁UB∩A={9},则A=________.
{3,9} [由题意画出Venn图,如图所示.
由图可知,A={3,9}.]
15.已知sin=,则2sin+cos=________.
[2sin+cos=2sin+sin=3sin=.]
16.已知函数f(x)=x-,则g(x)=f(x)+1是________函数(从“奇”“偶”“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空),不等式f(x2-x)+f(4x-10)≤-2的解集为________.(本题第一空2分,第二空3分)
(1)奇 (2)[-5,2] [函数y=x,y=-单调递增,故f(x)=x-单调递增;
g(x)=f(x)+1=x-+1=x+,函数单调递增;
g(-x)=(-x)+=-x-=-g(x),故g(x)是奇函数;
f(x2-x)+f(4x-10)≤-2,即g(x2-x)≤-g(4x-10)=g(10-4x).
故x2-x≤10-4x,解得-5≤x≤2.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知p:A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},q:B={x|x2-2mx+m2-9≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[1,3],求实数m的值;
(2)若q是p的必要条件,求实数m的取值范围.
[解] (1)A={x|-1≤x≤3,x∈R},
B={x|m-3≤x≤m+3,x∈R,m∈R},
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∵A∩B=[1,3],∴m=4.
(2)∵q是p的必要条件
∴p是q的充分条件,
∴A⊆∁RB,∴m>6或m<-4.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2asin+2(其中a为非零常数).
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)若a>0,x∈时,f(x)的最小值为1,求a的值.
[解] (1)当 a>0时,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴当a>0时,函数f(x)的单调增区间为(k∈Z),
当a<0时,由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴当a<0时,函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴-≤sin≤1,
∴当a>0时,f(x)的最小值为-a+2=1,∴a=1.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)用定义证明函数f(x)在(0,2)上单调递减;
(3)若f(x-2)<f(),求x的取值范围.
[解] (1)因为f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),所以函数f(x)的定义域为(-2,2),
因为f(-x)=lg(4-(-x)2)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)任取x1,x2∈(0,2)且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=lg(4-x)-lg(4-x)=lg,
因为x1,x2∈(0,2)且x1<x2,所以4-x>4-x>0,
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所以>1,lg>0,
即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(0,2)上单调递减.
(3)因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(),
又因为f(x)定义域为(-2,2),且在区间(0,2)上单调递减,
f(x-2)a>0且f(a)=f(b)=2f≠0,则称函数f(x)为“M类” 函数.
(1)试判断f(x)=sin x,x∈R是否是“M类” 函数,并说明理由;
(2)若函数f(x)=|log2x-1|,x∈(0,n),n∈N*为“M类” 函数,求n的最小值.
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[解] (1)不是.
假设f(x)为M类函数,则存在b>a>0,使得sin a=sin b,
则b=a+2kπ,k∈Z或者b+a=π+2kπ,k∈Z,
由sin a=2sin,
当b=a+2kπ,k∈Z时,有sin a=2sin(a+kπ),k∈Z,
所以sin a=±2sin a,可得sin a=0,不成立;
当b+a=π+2kπ,k∈Z时,有sin a=2sin,k∈Z,
所以sin a=±2,不成立,
所以f(x)不是M类函数.
(2)f(x)= ,则f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,
又因为f(x)是M类函数,
所以存在00,
则log2-1>0,所以得log2b-1=2,
从而有log2b+1=log2,则有2b=,即=8b,
所以b4-8b3+8b2+16=0,则(b-2)(b3-6b2-4b-8)=0,
由b>2,则b3-6b2-4b-8=0,
令g(x)=x3-6x2-4x-8,当20,且g(x)连续不断,由零点存在性定理可得存在b∈(6,7),
使得g(b)=0,此时a∈(0,2),因此n的最小值为7.
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