2018届高三数学一轮复习算法和抽样考点专练

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2018届高三数学一轮复习算法和抽样考点专练

板块命题点专练(十六) 命题点一 算法 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:高、中 题型:选择题、填空题 1.(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n =( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 B 程序运行如下: 开始 a=4,b=6,n=0,s=0. 第 1 次循环:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1; 第 2 次循环:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2; 第 3 次循环:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3; 第 4 次循环:a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4. 此时,满足条件 s>16,退出循环,输出 n=4.故选 B. 2.(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( ) A.0 B.2 C.4 D.14 解析:选 B a=14,b=18. 第一次循环:14≠18 且 14<18,b=18-14=4; 第二次循环:14≠4 且 14>4,a=14-4=10; 第三次循环:10≠4 且 10>4,a=10-4=6; 第四次循环:6≠4 且 6>4,a=6-4=2; 第五次循环:2≠4 且 2<4,b=4-2=2; 第六次循环:a=b=2,跳出循环,输出 a=2,故选 B. 3.(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M =( ) A.20 3 B.7 2 C.16 5 D.15 8 解析:选 D 第一次循环:M=3 2 ,a=2,b=3 2 ,n=2;第二次循环:M=8 3 ,a=3 2 ,b =8 3 ,n=3;第三次循环:M=15 8 ,a=8 3 ,b=15 8 ,n=4,则输出 M=15 8 ,选 D. 4.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选 C 运行第一次:S=1-1 2 =1 2 =0.5,m=0.25,n=1,S>0.01; 运行第二次:S=0.5-0.25=0.25,m=0.125,n=2,S>0.01; 运行第三次:S=0.25-0.125=0.125,m=0.062 5,n=3,S>0.01; 运行第四次:S=0.125-0.062 5=0.062 5,m=0.031 25,n=4,S>0.01; 运行第五次:S=0.031 25,m=0.015 625,n=5,S>0.01; 运行第六次:S=0.015 625,m=0.007 812 5,n=6,S>0.01; 运行第七次:S=0.007 812 5,m=0.003 906 25,n=7,S<0.01. 输出 n=7.故选 C. 命题点二 抽样方法 命题指数:☆☆ 难度:低 题型:选择题 1.(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视 力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的 抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 解析:选 C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法. 2.(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调 查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本中的老年教师人数为 ( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A.90 B.100 C.180 D.300 解析:选 C 设该样本中的老年教师人数为 x,由题意及分层抽样的特点得 x 900 = 320 1 600 , 故 x=180. 命题点三 用样本估计总体 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:低、中 题型:选择题、解答题 1.(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时 间,从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000 名居民的阅读 时间的全体是( ) A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 解析:选 A 5 000 名居民的阅读时间的全体是总体,每名居民的阅读时间是个体,200 是样本容量,故选 A. 2.(2015·重庆高考)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下图,则这组数 据的中位数是( ) 0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2 A.19 B.20 C.21.5 D.23 解析:选 B 由茎叶图可知这组数据由小到大依次为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32, 所以中位数为20+20 2 =20. 3.(2015·广东高考)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表. 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽 到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s2; (3)36 名工人中年龄在 x -s 与 x +s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)? 解:(1)由系统抽样的知识可知,36 人分成 9 组,每组 4 人,其中第一组的工人年龄为 44,所以其编号为 2,故所有样本数据的编号为 4n-2,n=1,2,…,9.其数据为: 44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2) x =44+40+…+37 9 =40. 由方差公式知,s2=1 9[(44-40)2+(40-40)2+…+(37-40)2]=100 9 . (3)因为 s2=100 9 ,所以 s=10 3 ∈(3,4), 所以 36 名工人中年龄在 x -s 和 x +s 之间的人数等于在区间[37,43]内的人数,即 40,40,41,…,39,共 23 人. 所以 36 名工人中年龄在 x -s 和 x +s 之间的人数所占的百分比为23 36 ≈63.89%. 4.(2016 全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用 期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现在决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状 图: 记 x 表示 1 台机器在三年作用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易 损零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 解:(1)当 x≤19 时,y=3 800; 当 x>19 时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700, 所以 y 与 x 的函数解析式为 y= 3 800,x≤19, 500x-5 700,x>19 (x∈N). (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46,不大于 19 的频率为 0.7, 故 n 的最小值为 19. (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买易 损零件上的费用为 3 800,20 台的费用为 4 300,10 台的费用为 4 800,因此这 100 台机器在购 买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000. 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件,则这 100 台机器中有 90 台在购买易损 零件上的费用为 4 000,10 台的费用为 4 500,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用 的平均数为 1 100 (4 000×90+4 500×10)=4 050. 比较两个平均数可知,购买一台机器的同时应购买 19 个易损零件. 命题点四 回归分析与独立性检验 命题指数:☆☆☆ 难度:高 题型:选择题、解答题 1.(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社 区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y^=b^x+a^,其中b^=0.76,a^= y--b^ x-.据此估计,该社 区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( ) A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 解析:选 B 由题意知, x =8.2+8.6+10.0+11.3+11.9 5 =10, y =6.2+7.5+8.0+8.5+9.8 5 =8, ∴a^=8-0.76×10=0.4, ∴当 x=15 时,y^=0.76×15+0.4=11.8(万元). 2.(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 错误!(xi- x )2 错误!(wi- w )2 错误!(xi- x )(yi- y ) 错误!(wi- w )(yi- y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi= xi, w =1 8 错误!i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问 题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为β ^ =错误!,α ^ = v -β ^ u . 解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程 类型. (2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于d ^ =错误!=108.8 1.6 =68, c ^ = y -d ^ w =563-68×6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y ^ =100.6+68w, 因此 y 关于 x 的回归方程为y ^ =100.6+68 x. (3)①由(2)知,当 x=49 时, 年销售量 y 的预报值y ^ =100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值z ^ =576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 z ^ =0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12. 所以当 x=13.6 2 =6.8,即 x=46.24 时,z ^ 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.
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