四川省棠湖中学2021届高三数学(理)上学期第一次月考试题(Word版附答案)

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四川省棠湖中学2021届高三数学(理)上学期第一次月考试题(Word版附答案)

‎2020年秋四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合,则() ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内,复数的共扼复数的对应点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.若,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知向量,若,则实数 ‎ A. B. C. D.1 ‎ ‎5.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中的系数为 ‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎6.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 ‎ 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.各项均为正数的等比数列中,,数列的前项和为.则 ‎ A. B. C.8 D. ‎ ‎8.在中,,则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知点在表示的平面区域内,则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数的部分图象大致为 ‎ A. B. ‎ 13‎ C. D. ‎ ‎12.已知函数,方程恰有两个不同的实数根,则的最小值与最大值的和 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知直线,且,则的值______.‎ ‎14.不等式在区间上的解集为__________.‎ ‎15.在三棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的体积的最小值为______.‎ ‎16.函数,有下列命题:‎ ‎①的图象关于轴对称;‎ ‎②的最小值是2; ‎ ‎③在上是减函数,在上是增函数;‎ ‎④没有最大值.其中正确命题的序号是______ .(请填上所有正确命题的序号)‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求的大小;‎ 13‎ ‎(2)若,求面积的最大值.‎ ‎18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是菱形,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求直线与平面所成角的正弦值 ‎19.(12分)2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻l0月21日至22日首次公开测产,经测产专家组评定,最终亩产为1046. 3千克.第三代杂交水稻的综合优势,可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色 和可持续方向发展.某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线,计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工.已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值为衡量标准,其产品等级划分如下表.为了解该产品的生产效益,该企业先进行试生产,并从中随机抽取了 1000件产品,测量了每件产品的质量指标值,得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图.‎ 质量指标值 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 13‎ ‎(1)若从质量指标值不小于85的产品中,采用分层抽样的方法抽取7件产品,然后从这7件产品中任取3件, 求产品的质量指标值的件数的分布列及数学期望;‎ ‎(2)将频率视为概率,从该产品中有放回地随机抽取3件,记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件,求事件发生的概率;‎ ‎(3)若每件产品的质量指标值与利润(单位:元)的关系如下表所示:‎ 质量指标值 利润 试确定的值,使得该生产线的年盈利取得最大值,并求出最大值.(参考数值:)‎ ‎20.(12分)己知椭圆的离心率为分别是椭圈的左、右焦点,椭圆的焦点到双曲线渐近线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)直线与椭圆交于两点,以线段为直径的圆经过点,且原点到直线的距离为,求直线的方程.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)求的极值;‎ ‎(2)若方程有三个解,求实数的取值范围.‎ 13‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程;‎ ‎(2)直线的极坐标方程分别为,直线与曲线的交点为,直线与曲线的交点为,求线段的长度.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知,且.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.‎ 13‎ ‎2020年秋四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1-5:BDCAA 6-10:DACCA 11-12:AC ‎13.: 14.: 15 16.①④‎ ‎17.(1)由正弦定理得 ‎,又  ‎ ‎,得: ‎ ‎(2)由余弦定理得: ‎ 又(当且仅当时取等号) ‎ ‎∴三角形面积的最大值为: ‎ ‎ ‎ ‎18.(1)证明:取中点,连接 ‎ ‎∵四边形为菱形 又为等边三角形,又为中点 ‎ 为中点 ‎ 13‎ 平面,平面 又平面 ‎ ‎(2)以为原点,可建立如图所示空间直角坐标系:‎ 由题意知:,,‎ 则 ‎ 设平面的法向量 ‎,令,则 ‎ 设直线与平面所成角为.‎ 即直线与平面所成角的正弦值为:.‎ ‎19.:(1)由频率分布直方图可知,质量指标值不小于85的产品中,‎ 的频率为;‎ 的频率为;‎ 13‎ 的频率为.‎ 故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中,的有4件,‎ 的有2件,的有1件.‎ 从这7件产品中任取3件,质量指标值的件数的所有可能取值为,则;;.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故.‎ ‎(2)设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为,则根据频率分布直方图可得,‎ 则.‎ ‎(3)由题意可得该产品的质量指标值与对应概率如下表所示;‎ 质量指标值 利润 ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ 故每件产品的利润,‎ 则,令,则,‎ 故当时,,当时,,‎ 所以当时,取得最大值, (元).‎ 所以当时,每件产品的利润取得最大值,为0.9元.‎ 13‎ 由已知,该生产线的年产量为100万件,所以该生产线的年盈利的最大值为 (万元).‎ ‎20.(1)由题意知, ‎ 双曲线方程知,其渐近线方程为:‎ ‎∴焦点到双曲线渐近线距离:,解得:‎ 由椭圆离心率得: ‎ ‎∴椭圆的方程为:‎ ‎(2)原点到直线距离为:,整理得:‎ 设 ‎ 由得:‎ 则,即:‎ ‎∵以为直径的圆过点 又 ‎ 即:‎ 13‎ 由且得:,满足 ‎∴直线方程为:‎ ‎21.(1)的定义域为,,‎ 当时,在上递减,在上递增,所以在处取得极小值,‎ 当时,,所以无极值,‎ 当时,在上递增,在上递减,所以在处取得极大值.‎ ‎(2)设,即,‎ ‎.‎ ‎①若,则当时,单调递减,当时,单调递增,至多有两个零点.‎ ‎②若,则(仅). 单调递增,至多有一个零点.‎ ‎③若,则,当或时,单调递增;当时,单调递减,要使有三个零点,必须有成立.‎ 由,得,这与矛盾,所以不可能有三个零点.‎ ‎④若,则.当或时,,单调递增;当时,单调递减,要使有三个零点,必须有成立,‎ 13‎ 由,得,由及,得,‎ ‎.‎ 并且,当时,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 综上,使有三个零点的的取值范围为.‎ ‎22.(1)由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为:,‎ 所以极坐标方程为即.‎ ‎(2)将代入中有,即,‎ 将代入中有,即,‎ 余弦定理得,.‎ ‎23.(1)由柯西不等式得.‎ ‎∴,当且仅当时取等号.∴;‎ ‎(2),‎ 要使得不等式恒成立,即可转化为,‎ 当时,,可得,‎ 13‎ 当时,,可得,‎ 当时,,可得,∴的取值范围为:. ‎ 13‎
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