江西省新余一中2019-2020学年高一3月零班网上摸底考试数学试题

江西省新余一中2019-2020学年高一3月零班网上摸底考试数学试题

高一数学试卷 考试时间：100分钟；命题人：‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．已知，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎2．已知函数满足，求的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎5．设函数 ，若函数恰有三个零点，，‎ ‎ ，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最小值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．给出下列命题：‎ ‎（1）存在实数使 .‎ ‎（2）直线是函数图象的一条对称轴.‎ ‎（3）的值域是.‎ ‎（4）若都是第一象限角，且，则.‎ 其中正确命题的题号为（ ）‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）‎ ‎9．函数在区间（，）内的图象是( 　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．关于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 ‎11．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使得成立的的最小值是（ ）‎ A．11 B．‎12 ‎C．21 D．22‎ ‎12．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______．‎ ‎14．已知定点，是圆上的动点，则当取到最大值时，点的坐标为______.‎ ‎15．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．‎ ‎16．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，分别是，的中点，平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若三棱柱的体积为10，求三棱锥的体积.‎ ‎19．正项数列的前n项和Sn满足：‎ ‎ (1)求数列的通项公式； ‎ ‎(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .‎ ‎20．已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．‎ ‎21．已知函数,的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求的解析式,并说明的图象怎样经过2次变换得到的图象;‎ ‎(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22．设函数，，数列满足条件:对于，，且，并有关系式:，又设数列满足(且，).‎ ‎（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；‎ ‎（3）若，记，，设数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．D2．B3．C4．A5．B6．A7．B8．C9．D10．C11．D12．D ‎13．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎14．已知定点，是圆上的动点，则当取到最大值时，点的坐标为______.‎ ‎【答案】‎ ‎15．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．‎ ‎【答案】6‎ ‎16．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎17．已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（）；（2）．‎ 解：（1）设数列的公比为，‎ 因为，所以，．‎ 因为是和的等差中项，所以．‎ 即，化简得．‎ 因为公比，所以．‎ 所以（）．‎ ‎（2）因为，所以．‎ ‎．‎ 则，①‎ ‎.②‎ ‎①－②得，‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎18．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，分别是，的中点，平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若三棱柱的体积为10，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵平面，平面，∴，‎ 在正方形中，，‎ ‎∵，∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）设中点为，连接，‎ ‎∵分别是的中点，‎ ‎∴，且.‎ 又点是的中点，∴.‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴.‎ ‎∵平面，平面， ‎ ‎∴平面.‎ ‎（3）连接，则，‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎19．正项数列的前n项和Sn满足：‎ ‎ (1)求数列的通项公式； ‎ ‎(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【详解】‎ ‎（1）因为数列的前项和满足：，‎ 所以当时，，‎ 即 解得或，‎ 因为数列都是正项，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得或，‎ 因为数列都是正项，‎ 所以，‎ 当时，有，‎ 所以，‎ 解得，‎ 当时，，符合 所以数列的通项公式，;‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎，‎ 所以数列的前项和为：‎ ‎，‎ 当时，‎ 有，‎ 所以，‎ 所以对于任意，数列的前项和.‎ ‎20．已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或.（2）或.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得：，所以圆C：.. ‎ 当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：‎ 当切线的斜率不存在时，即也满足 所以切线方程为：或. ‎ ‎(2)由圆心在直线l：上，设 设点，由得：‎ 化简得：，所以点M在以为圆心，2为半径的圆上. ‎ 又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则 即，解得：或.‎ ‎21．已知函数,的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求的解析式,并说明的图象怎样经过2次变换得到的图象;‎ ‎(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),变换见解析;(2).‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由图得,‎ 因为为函数递增区间上的零点,‎ 所以,即.‎ 因为,所以,‎ 即，‎ 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度可得；‎ ‎ (2)因为,所以,‎ 所以当时,取最小值,‎ 当时,取最大值1,‎ 因为恒成立,即恒成立,‎ 所以,‎ 即.‎ ‎22．设函数，，数列满足条件:对于，，且，并有关系式:，又设数列满足(且，).‎ ‎（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；‎ ‎（3）若，记，，设数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析，公差为；（3）．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵，，，‎ ‎∴，即，，‎ 又，所以，∴是等比数列．‎ ‎，∴．‎ ‎（2）证明：∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴数列是等差数列，公差为，首项为．‎ ‎（3）由及（1）（2）得，，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 两式相减得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式为：‎ ‎，整理得对恒成立，‎ 令，‎ 由，因此递增，且大于0，‎ 所以递增，当时，，且，故，‎ 所以的范围是．‎