人教新课标A版高一数学2-4-2等比数列的基本性质及其应用）

人教新课标A版高一数学2-4-2等比数列的基本性质及其应用）

备课资料 备用例题 1.已知无穷数列 5 0 10 , 5 1 10 , 5 2 10 ,…, 5 1 10 n ,…. 求证：(1)这个数列成等比数列； (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1 ； (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中. 证明：(1) 10 110 10 10 1 5 4 5 1 1      n n n n a a (常数)，∴该数列成等比数列. (2) 10 110 10 10 1 5 4 5 1 5      n n n n a a ,即： 510 1  nn aa . (3)apaq= 5 2 5 1 5 1 101010   qpqp ，∵p,q∈N，∴p+q≥2. ∴p+q-1≥1 且(p+q-1)∈N.∴ 5 210  qp ∈        5 1 10 n (第 p+q-1 项). 2.设 a,b,c,d 均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0, 求证：a,b,c 成等比数列且公比为 d. 证法一：关于 d 的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0 有实根， ∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0. 则必有：b2-ac=0，即 b2=ac，∴a,b,c 成等比数列. 设公比为 q，则 b=aq,c=aq2 代入 (a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0. ∵(q2+1)a2≠0，∴d2-2qd+q2=0，即 d=q≠0. 证法二：∵(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0, ∴(a2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0. ∴(ad-b)2+(bd-c)2=0.∴ad=b，且 bd=c. ∵a,b,c,d 非零，∴ db c a b  d.∴a,b,c 成等比数列且公比为 d.