2019-2020学年山东省淄博市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省淄博市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省淄博市第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，且集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出,再由交集的定义求解即可 ‎【详解】‎ 由题,可得,则 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查补集、交集的定义,考查列举法表示集合,属于基础题 ‎2．下列各命题中，真命题是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别对选项中的等式或不等式求解,依次判断是否正确即可 ‎【详解】‎ 对于选项A,,即或,故A不正确；‎ 对于选项B,当时,,故B不正确；‎ 对于选项D,为无理数,故D不正确；‎ 对于选项C,当时,,故C为真命题,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的求解,考查命题真假的判断,考查全称量词、存在性量词的应用 ‎3．若不等式的解集为，则的值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题,可得和为方程的根,根据方程的根与系数的关系建立等式即可求解 ‎【详解】‎ 由题可得, 和为方程的根,‎ 所以由韦达定理可得,即 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查由不等式的解求参数问题,考查转换思想,考查方程的根与系数的关系 ‎4．“”是“一次函数 (是常数)是增函数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】根据一次函数的性质可知当时,是增函数,即可作出判断 ‎【详解】‎ 当时,一次函数是增函数,故“”是“一次函数 (是常数)是增函数”的充要条件,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查一次函数的单调性,考查充要条件的判断 ‎5．若集合， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A． B．‎ C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】分别化简集合可得,或,阴影部分为,由交集定义解出即可 ‎【详解】‎ 由题,可得,或,‎ 由图可得阴影部分为 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查图示法表示集合的关系,考查交集的定义,考查解不等式,考查运算能力 ‎6．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】由题可分析,,解出范围即可 ‎【详解】‎ 由题,若不等式对一切恒成立,‎ 则,即,‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题,考查转换思想,考查解不等式 ‎7．如果函数在区间]上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为二次函数开口向上，对称轴为，所以其减区间为，又函数在上是减函数，故，所以，解得，故选A.‎ ‎8．设集合，集合，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由题可得,进而可判断“”与“”的关系 ‎【详解】‎ 由题可得,,则“”是“”的必要不充分条件 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查集合之间的关系,考查必要不充分条件的判断 ‎9．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为选项A是非奇非偶函数，不选，选项B，是奇函数，但是减函数，选项C中，是奇函数，并且是增函数，选项D，是奇函数，不是增函数，故选C.‎ ‎10．已知， ， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将改写为,再利用函数的单调性判断即可 ‎【详解】‎ 由题,,对于函数可知在单调递增,‎ 因为,则,即 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查利用幂函数单调性比较大小,考查指数幂的性质 ‎11．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】可知,利用不等式的性质和均值不等式即可得到结果 ‎【详解】‎ 由题,,‎ 由于,所以,即,所以,故,即 因为,所以,,‎ 故 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查考查不等关系,不等式的性质,考查均值不等式 ‎12．若在处取得最小值，则（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.‎ ‎【考点】基本不等式.‎ 二、填空题 ‎13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出当命题为真命题时的范围,其补集即为命题为假命题时的范围 ‎【详解】‎ 由题,当命题“”为真命题时,,‎ 即或,‎ 则当命题“”为假命题时,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由命题的真假求参数范围问题,考查转换思想,考查运算能力 ‎14．函数的定义域为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数若有意义需满足,求解即可 ‎【详解】‎ 由题,,即,故定义域为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数求定义域,属于基础题 ‎15．若，且满足，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令 ‎【详解】‎ 由题,则,‎ 当且仅当,即,时,等号成立,的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查“1”的代换法求最值问题,考查均值不等式的应用,考查运算能力 ‎16．已知函数，若，则________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由分段函数求值问题，分段讨论 或，求解即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 或，解得或，‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数，属基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，集合，且，求实数的取值范围 ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得,分别讨论与的情况,得到不等关系,求解即可 ‎【详解】‎ 由得,‎ 当时,则,即 ‎ 当时,‎ 则,解得,‎ 综上可知, .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由并集结果求参数,当,需讨论集合是否为空集,是易错点,考查分类讨论思想 ‎18．已知集合，集合，若，求实数的取值集合．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先用列举法表示,由得,分别讨论与的情况即可 ‎【详解】‎ 由题,， ‎ 由得,‎ 当时,,即,‎ 当时,由得 若,‎ 则,即,解集,舍去； ‎ 若,‎ 则,即,；‎ 若,‎ 则,即,解集,舍去；‎ 综上可知,实数的取值集合为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由交集结果求参数,当,需讨论集合是否为空集,是易错点,考查分类讨论思想 ‎19．已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得的定义域,再由是奇函数可得,由单调性即可得到的范围 ‎【详解】‎ 由题意得,‎ 解得,即 由,‎ 得,‎ ‎∵函数是奇函数,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵函数在定义域上是减函数,‎ ‎∴,即，‎ 解得,‎ 由得,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数奇偶性的应用,考查抽象函数的定义域,考查单调性的应用 ‎20．要制作一个体积为，高为的长方体纸盒，怎样设计用纸最少？‎ ‎【答案】当长方体纸盒的底面是边长为的正方形时，用纸最少为.‎ ‎【解析】由题可得长方体纸盒的底面积为,设长方体纸盒的底面一边长为,则另一边长为,则长方体纸盒的全面积为,利用均值不等式求解即可 ‎【详解】‎ 由题意得,长方体纸盒的底面积为,‎ 设长方体纸盒的底面一边长为,则另一边长为,‎ 长方体纸盒的全面积为, ‎ 则由题意得 ‎ ‎∵,‎ ‎∴,当且仅当,即时,等号成立 ‎∴当时,的最小值为64‎ 答:当长方体纸盒的底面是边长为的正方形时，用纸最少为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查均值不等式求最值,考查空间几何体的体积与表面积,考查运算能力 ‎21．已知二次函数在区间上有最小值，求实数的值.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】先得到对称轴是,讨论对称轴与区间的位置关系,进而求得的值 ‎【详解】‎ 二次函数图像的对称轴是,‎ 当时,在区间上单调递增,‎ ‎∴,‎ 解得； ‎ 当时,在区间上单调递减,‎ ‎∴,‎ 解得；‎ 当时,,‎ 即,解得不合题意,舍去； ‎ 综上可得,或 ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数由最值求参数问题,考查分类讨论思想 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求它的定义域和值域；‎ ‎（2）用单调性的定义证明:在上单调递减.‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）由分母不为0求定义域,由均值不等式求值域；‎ ‎（2）设,判断即可 ‎【详解】‎ ‎（1）解:函数的定义域是,‎ 当时,,‎ 当且仅当即时等号成立,‎ 当时,,,‎ 即 当且仅当,即时等号成立； ‎ ‎∴函数的值域是 ‎ ‎（2）证明:设,‎ 则 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴,即 ‎∴在上单调递减.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域和值域,考查定义法证明函数单调性