高考数学专题复习教案： 导数在研究函数中的应用备考策略
导数在研究函数中的应用
主标题：导数在研究函数中的应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：导数，极值，最值，备考策略
难度：4
重要程度：5
内容
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．
解 (1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，
∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．
令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，
∴x>ln 2或x<0.
令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0
0)，
∴f′(x)＝－－＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1或－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．
【备考策略】 (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
考点三 利用导数求函数的最值
【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
审题路线 (1)⇒a，b的值；
(2)求导确定函数的极大值⇒求得c值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．
解 (1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)＝0，得x＝－2或2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
9＋c
·
极大值
·
极小值
·
－9＋c
由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
