【数学】2019届一轮复习北师大版等比数列及其前n项和学案

【数学】2019届一轮复习北师大版等比数列及其前n项和学案

第29讲　等比数列及其前n项和 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解等比数列的概念．‎ ‎2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．‎ ‎4．了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎2017·江苏卷，9‎ ‎2017·北京卷，15‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，17‎ ‎2016·湖南卷，14‎ ‎1.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列．‎ ‎2．利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.‎ 分值：5～7分 ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q__表示．‎ ‎(2)等比中项 如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么__＝__，即__G2＝ab__.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝__a1·qn－1__.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝__na1__；当q≠1时，Sn＝____＝____.‎ ‎3．等比数列的性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ ‎(4)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)常数列一定是等比数列．(　×　)‎ ‎(2)等比数列中不存在数值为0的项．(　√　)‎ ‎(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)‎ ‎(4)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)‎ ‎(5)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn.(　×　)‎ ‎(6)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)‎ ‎(7)q＞1时，等比数列{an}是递增数列．(　×　)‎ ‎(8)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq，则m＋n＝p＋q.(　×　)‎ 解析　(1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列．‎ ‎(2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项．‎ ‎(3)错误．当q＝0时，{an}不是等比数列．‎ ‎(4)错误．当G2＝ab＝0时，G不是a，b的等比中项．‎ ‎(5)错误．等比数列的通项公式为an＝a1qn－1.‎ ‎(6)错误．当a＝1时，Sn＝n.‎ ‎(7)错误．当q>1，a1<0时，等比数列递减．‎ ‎(8)错误．若an＝1，a1·a3＝a4·a5＝1，但1＋3≠4＋5.‎ ‎2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足的条件是(　D　)‎ A．{a|a≠1}　　 B．{a|a≠0或a≠1}‎ C．{a|a≠0}　　 D．{a|a≠0且a≠1}‎ 解析　由等比数列定义可知，a≠0且1－a≠0，即a≠0且a≠1.‎ ‎3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝(　C　)‎ A．1∶2 　　　 B．2∶‎3　‎　‎ C．3∶4 　　　　 D．1∶3‎ 解析　由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝.‎ ‎4．在等比数列{an}中，若a‎7a12＝5，则a‎8a‎9a‎10a11＝__25__.‎ 解析　由等比数列的性质知a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，‎ ‎∴a8·a9·a10·a11＝25.‎ ‎5．在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则q＝__－4__，S4＝__51__.‎ 解析　∵a4＝a1·q3，∴q3＝－64，q＝－4，‎ S4＝＝＝51.‎ 一　等比数列基本量的求解 解决等比数列有关问题的常用思想方法 ‎(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解．‎ ‎(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，将q分为q＝1和q≠1两种情况进行讨论．‎ ‎【例1】 (2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ 解析　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.‎ 由a2＋b2＝2，得d＋q＝3.①‎ ‎(1)由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6.②‎ 联立①和②解得(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，‎ 解得q＝－5或q＝4.‎ 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.‎ 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.‎ 二　等比数列的性质及应用 ‎(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．‎ ‎【例2】 (1)已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　C　)‎ A．2　　 B．‎1　‎　‎ C．　　 D． ‎(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　A　)‎ A．　　 B．－　　‎ C．　　 D． ‎(3)已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋‎2a6＋a10)的值为(　A　)‎ A．4　　 B．‎6　‎　‎ C．8　　 D．－9‎ 解析　(1)∵a‎3a5＝a，a‎3a5＝4(a4－1)，‎ ‎∴a＝4(a4－1)，∴a－‎4a4＋4＝0，∴a4＝2.‎ 又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝.故选C．‎ ‎(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.故选A．‎ ‎(3)a6(a2＋‎2a6＋a10)＝a‎6a2＋‎2a＋a‎6a10＝a＋‎2a‎4a8＋a＝(a4＋a8)2，‎ ‎∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋‎2a6＋a10)＝4.故选A．‎ 三　等比数列的判定与证明 ‎(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．‎ ‎【例3】 数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋an＝－n2－n＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)设bn＝an＋n，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ 解析　(1)证明：因为an＋Sn＝－n2－n＋1，‎ 所以当n＝1时，‎2a1＝－1，则a1＝－；‎ 当n≥2时，an－1＋Sn－1＝－(n－1)2－(n－1)＋1，‎ 所以2an－an－1＝－n－1，即2(an＋n)＝an－1＋n－1.‎ 所以bn＝bn－1(n≥2)．又因为b1＝a1＋1＝，‎ 所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．‎ 所以bn＝n.‎ ‎(2)由(1)得nbn＝，‎ 所以Tn＝＋＋＋＋…＋＋，①‎ ‎2Tn＝1＋＋＋＋…＋＋，②‎ ‎②－①，得Tn＝1＋＋＋…＋－，‎ 即Tn＝－＝2－.‎ ‎1．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ＝(　D　)‎ A．1　　 B．－‎1　‎　‎ C．　　 D．2‎ 解析　由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.‎ ‎2．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝__34__.‎ 解析　由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝‎2a1，a3＝‎2a2＝‎4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋‎4a1＝2(‎2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.‎ ‎3．已知正项数列{an}是首项为2的等比数列，且a2＋a3＝24.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)设正项数列{an}的公比为q，则2q＋2q2＝24，‎ ‎∴q＝3(q＝－4舍去)，∴an＝2×3n－1.‎ ‎(2)∵bn＝＝＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋，①‎ ‎∴Tn＝＋＋…＋＋，②‎ 由①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－，‎ ‎∴Tn＝＝.‎ ‎4．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列是等比数列；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)证明：∵an＋1＝，∴＝＝＋.‎ ‎∴－＝.又a1＝1，∴－＝，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知－＝·n－1＝，‎ 即＝＋，∴bn＝＝＋.‎ 设Tn＝＋＋＋…＋，①‎ 则Tn＝＋＋…＋＋，②‎ ‎①－②，得Tn＝＋＋…＋－＝1－－，‎ ‎∴Tn＝2－－.又∵(1＋2＋3＋…＋n)＝，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn＝2－＋.‎ 易错点　不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号 错因分析：①等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号也都相同．②只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．‎ ‎【例1】 等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2＋18x＋7＝0的两个根，试求a7.‎ 解析　 由韦达定理，得a5＋a9＝－，a‎5a9＝1，∴a5＜0，a9＜0.‎ ‎∵a＝a‎5a9＝1，且a7＝a5q2＜0，∴a7＝－1.‎ ‎【跟踪训练1】 若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为__，2,2或－，2，－2__.‎ 解析　设这五个数依次为a1，a2，a3，a4，a5.‎ ‎∵a＝a‎1a5＝4，且a3＞0，∴a3＝2.又a＝a‎1a3＝2，‎ ‎∴a2＝±，当a2＝时，a4＝2；当a2＝－时，a4＝－2.所以插入的三个数依次为，2,2或－，2，－2.‎ 课时达标　第29讲 ‎[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式、等比中项及其性质以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及．‎ 一、选择题 ‎1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　A　)‎ A．－24　　 B．‎0　‎　‎ C．12　　 D．24‎ 解析　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.‎ ‎2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　C　)‎ A．　　 B．－　　‎ C．　　 D．－ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝x－，①‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝x·(3n－1－3n－2)＝2x·3n－2，‎ 因为{an}是等比数列，‎ 所以a1＝＝＝，②‎ 由①②得x－＝，解得x＝.‎ ‎3．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是(　B　)‎ A．－2　　 B．－ C．±　　 D． 解析　根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a‎3a7＝2，因为a3＋a7＝－4<0，a‎3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0.‎ 又a‎3a7＝a，所以a5＝－＝－.‎ ‎4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　D　)‎ A．4n－1　　 B．4n－1‎ C．2n－1　　 D．2n－1‎ 解析　∵∴ 由①除以②可得＝2，解得q＝，代入①得a1＝2，‎ ‎∴an＝2×n－1＝，‎ ‎∴Sn＝＝4，‎ ‎∴＝＝2n－1.故选D．‎ ‎5．等比数列{an}的各项均为正数，且a‎5a6＋a‎4a7＝18，则log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10＝(　B　)‎ A．12　　 B．10‎ C．8　　 D．2＋log35‎ 解析　由题意可知a‎5a6＝a‎4a7，又a‎5a6＋a‎4a7＝18，得a‎5a6＝a‎4a7＝9，而log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10＝log3(a‎1a2…a10)＝log3(a‎5a6)5＝log395＝log3310＝10.‎ ‎6．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则‎2a7＋a11的最小值为(　B　)‎ A．16　　 B．8‎ C．2　　 D．4‎ 解析　由题意知a4>0，a14>0，a4·a14＝8，a7>0，a11>0，则‎2a7＋a11≥2＝2＝2‎ ＝8，当且仅当即a7＝2，a11＝4时取等号，故‎2a7＋a11的最小值为8.故选B．‎ 二、填空题 ‎7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋‎2a4，则a6的值是__4__.‎ 解析　设公比为q，则由a8＝a6＋‎2a4，得a1q7＝a1q5＋‎2a1q3，q4－q2－2＝0，解得q2＝2(q2＝－1舍去)，所以a6＝a2q4＝4.‎ ‎8．等比数列的各项均为正数，且a‎1a5＝4，则log‎2a1＋log‎2a2＋log‎2a3＋log‎2a4＋log‎2a5＝__5__.‎ 解析　由等比数列的性质可知a‎1a5＝a‎2a4＝a，于是由a‎1a5＝4得a3＝2，故a‎1a‎2a‎3a‎4a5＝32，则log‎2a1＋log‎2a2＋log‎2a3＋log‎2a4＋log‎2a5＝log2(a‎1a‎2a‎3a‎4a5)＝log232＝5.‎ ‎9．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝__32__.‎ 解析　设等差数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，解得q＝2，a1＝，则a8＝a1q7＝×27＝32.‎ 三、解答题 ‎10．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为‎3a3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)．‎ 由题意，得 解得或(舍去)，所以an＝2n.‎ ‎(2)因为bn＝＝，‎ 所以Tn＝＋＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ 所以Tn＝＋＋＋＋…＋－ ‎＝－＝－，‎ 故Tn＝－＝－.‎ ‎11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1 ,2S2,3S3成等差数列，且S4＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：Sn<.‎ 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S1,2S2,3S3成等差数列，所以4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，‎ 所以a2＝‎3a3，所以q＝＝.‎ 又S4＝，即＝，解得a1＝1，所以an＝n－1.‎ ‎(2)证明：由(1)得 Sn＝＝＝.‎ ‎∵n∈N*，∴0

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