【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第1章第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第1章第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”学案

第三节　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ ‎[最新考纲]　1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎1．全称量词和存在量词 ‎(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．‎ ‎(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．‎ ‎2．全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题．‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题. ‎ ‎3．命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．‎ ‎(2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q.‎ ‎4．逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真即真．‎ ‎(2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．‎ ‎(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．‎ ‎2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“3≥‎2”‎是真命题．(　　)‎ ‎(2)若命题p且q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)‎ ‎(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)‎ ‎(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．命题“任意x∈R，x2＋x≥‎0”‎的否定是(　　)‎ A．存在x0∈R，x＋x0≤0‎ B．存在x0∈R，x＋x0＜0‎ C．任意x∈R，x2＋x≤0‎ D．任意x∈R，x2＋x＜0‎ B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]‎ ‎2．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．存在x0∈R，lg x0＝1‎ B．存在x0∈R，sin x0＝0‎ C．任意x∈R，x3＞0‎ D．任意x∈R,2x＞0‎ C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，任意x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]‎ ‎3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p 且q中真命题的个数为(　　)‎ A．1　　 B．2‎ C．3 D．4‎ B　[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，‎ p且q都是真命题．]‎ ‎4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．‎ 存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]‎ 考点1　全称命题、特称命题 ‎　(1)全称命题与特称命题的否定 ‎①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．‎ ‎②否定结论：对原命题的结论进行否定．‎ ‎(2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 ‎　全称命题、特称命题的否定 ‎　(1)(2019·西安模拟)命题“任意x＞0，＞‎0”‎的否定是(　　)‎ A．存在x＜0，≤0　　 B．存在x＞0,0≤x≤1‎ C．任意x＞0，≤0 D．任意x＜0,0≤x≤1‎ ‎(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则綈p为 ‎(　　)‎ A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 B．任意m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 D．任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 ‎(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，‎ 所以x＜0或x＞1，‎ 所以＞0的否定是0≤x≤1，‎ 所以命题的否定是存在x＞0,0≤x≤1，故选B.‎ ‎(2)由特称命题的否定可得綈p为“任意m∈R，f(x)＝2x－mx不 是增函数”．]‎ ‎　全(特)称命题的否定方法：任意x∈M，p(x)存在x0∈M，綈p(x0)，简记：改量词，否结论．‎ ‎　全称命题、特称命题的真假判断 ‎　(1)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．任意x∈R，x2≥0‎ B．任意x∈R,2x－1＞0‎ C．存在x0∈R，lg x0＜1‎ D．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2‎ ‎(2)下列四个命题：‎ p1：存在x0∈(0，＋∞)，x0＜ x0；‎ p2：存在x0∈(0,1)，logx0＞logx0；‎ p3：任意x∈(0，＋∞)，x＞logx；‎ p4：任意x∈，x＜logx.‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p1，p3　　 B．p1，p4　　‎ C．p2，p3　　 D．p2，p4‎ ‎(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．‎ ‎(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有x0＞x0成立，故p1‎ 是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图像，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在上的图像可以判断p4是真命题．]‎ ‎　因为命题p与綈p的真假性相反，因此不管是全称命 题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．‎ ‎　1.命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．任意n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)＞n B．任意n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)＞n C．存在x0∈N＋，f(n0)∉N＋且f(n0)＞n0‎ D．存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋或f(n0)＞n0‎ D　[“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N＋或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.]‎ ‎2．已知命题p：存在x0∈0，，使得cos x0≤x0，则綈p为________，是________命题(填“真”或“假”)．‎ 任意x∈0，，都有cos x＞x　假　[綈p：任意x∈0，，都有cos x＞x，此命题是假命题．]‎ 考点2　含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎　判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤 ‎(1)判断复合命题的结构．‎ ‎(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假．‎ ‎(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可．‎ ‎　[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：任意(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题 ‎①p或q　②綈p或q　③p且綈q　④綈p且綈 q 这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)‎ A．①③ B．①②‎ C．②③ D．③④‎ A　[法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；‎ 命题q：任意(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A.‎ 法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．‎ ‎∴①③真，②④假．故选A.]‎ ‎　含逻辑联结词命题真假的等价关系 ‎(1)p或q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)且(綈q)假．‎ ‎(2)p或q假⇔p，q均假⇔(綈p)且(綈q)真．‎ ‎(3)p且q真⇔p，q均真⇔(綈p)或(綈q)假．‎ ‎(4)p且q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)或(綈q)真．‎ ‎(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．‎ ‎　1.(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)‎ A．p或q B．p且q C．q D．綈p B　[取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．]‎ ‎2．给定下列命题：‎ p1：函数y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上为增函数；‎ p2：存在a，b∈R，a2－ab＋b2＜0；‎ p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．‎ 则下列命题中的真命题为(　　)‎ A．p1或p2 B．p2且p3‎ C．p1或(綈p3) D．(綈p2)且p3‎ D　[对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以(綈p2)且p3为真命题．]‎ 考点3　由命题的真假确定参数的取值范围 ‎　根据命题真假求参数的方法步骤 ‎(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．‎ ‎(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．‎ ‎　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.‎ 所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．‎ ‎[母题探究]‎ ‎1．(变问法)在本例条件下，若p且q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；‎ 当q是真命题时，有－2＜m＜2，‎ 由可得－2＜m＜0.‎ 所以实数m的取值范围为(－2,0)．‎ ‎2．(变问法)在本例条件下，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．‎ 当p真q假时所以m≤－2；‎ 当p假q真时所以0≤m＜2.‎ 所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．‎ ‎　根据命题的真假求参数取值范围的策略 ‎(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．‎ ‎(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．‎ ‎　1.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． A　[当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，‎ 当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，‎ 由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，‎ 所以m≥，故选A.]‎ ‎2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－12)∪(－4,4)　[命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，‎ 则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]‎