【数学】2020届一轮复习人教A版离散型随机变量的均值与方差课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版离散型随机变量的均值与方差课时作业

一、选择题 ‎1.已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则X的数学期望E(X)＝(　　)‎ A. B.2 C. D.3‎ 解析　由数学期望公式可得 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 答案　A ‎2.已知离散型随机变量X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P ‎0.5‎ m ‎0.2‎ 则其方差D(X)＝(　　)‎ A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4‎ 解析　由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.‎ 答案　C ‎3.(2019·宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析　由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，‎ ‎∴p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.‎ 答案　B ‎4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)‎ A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6‎ 解析　由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X ‎＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.‎ 答案　B ‎5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝.‎ 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X＝2)＝，‎ P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝＝，‎ 故E(X)＝2×＋4×＋6×＝.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6.已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.5‎ x y 若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.‎ 解析　由分布列性质，得x＋y＝0.5.‎ 又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得 D(ξ)＝×＋×＋×＝.‎ 答案　 ‎7.(2019·杭州期末)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝______，方差D(ξ)的最大值为________.‎ 解析　记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，‎ 方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤.‎ 故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为.‎ 答案　p　 ‎8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.‎ 解析　随机变量X的取值为0，1，2，4，‎ 则P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，因此E(X)＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.(2019·天津和平区模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90，100)，第二组：[100，110)，……，第五组：[130，140].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.‎ ‎(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；‎ ‎(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.‎ 解　(1)由频率分布直方图知，成绩在[100，120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，‎ ‎∴该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩.‎ 由题意，X的可能取值为0，1，2，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ 则X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎10.(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ 解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，‎ P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).‎ 当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.‎ 当n＝20时，‎ E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.‎ 可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意，X～B，‎ 又E(X)＝＝3，∴m＝2，‎ 则X～B，故D(X)＝5××＝.‎ 答案　B ‎12.(2019·潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)‎ A.3 B. C.2 D. 解析　在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，通不过的概率为.‎ 由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，‎ 则P(X＝0)＝＝；‎ P(X＝1)＝C××＝；‎ P(X＝2)＝C××＝；‎ P(X＝3)＝.‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，或由二项分布的期望公式可得E(X)＝.‎ 答案　B ‎13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则p的取值范围是________.‎ 解析　由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，‎ P(Y＝3)＝(1－p)2，‎ 则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，‎ 解得p>或p<，‎ 又p∈(0，1)，所以p∈.‎ 答案　 ‎14.(2019·青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.‎ ‎(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？‎ 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 ‎60‎ 女 ‎110‎ 总计 ‎(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.‎ 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解　(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，‎ 则“课外体育不达标”人数为150，‎ ‎∴列联表如下：‎ 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 总计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎∴K2＝＝≈6.061<6.635.‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，‎ P(ξ＝1)＝＝＝；‎ P(ξ＝2)＝＝＝；‎ P(ξ＝3)＝＝＝；‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 新高考创新预测 ‎15.(试题创新)已知随机变量ξi的分布列如下：‎ ξi ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(1－pi)2‎ ‎2pi(1－pi)‎ p 其中i＝1，2，若0D(2ξ2)‎ C.E(2ξ1)>E(2ξ2)，D(2ξ1)E(2ξ2)，D(2ξ1)>D(2ξ2)‎ 解析　由分布列知ξi～B(2，pi)(i＝1，2)，‎ 则E(ξ1)＝2p1，E(ξ2)＝2p2，D(ξ1)＝2p1(1－p1)，D(ξ2)＝2p2(1－p2)，‎ 所以E(2ξ1)＝2E(ξ1)＝4p1，E(2ξ2)＝2E(ξ2)＝4p2，D(2ξ1)＝4D(ξ1)＝8p1(1－p1)，‎ D(2ξ2)＝4D(ξ2)＝8p2(1－p2).‎ 因为0

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