2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（天津卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（天津卷）

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）i是虚数单位，=‎ ‎（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i ‎【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。‎ 解析：，故选择D。‎ ‎（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数的最小值为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）23‎ ‎【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。‎ 解析：画出不等式表示的可行域，如右图，‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。‎ ‎（3）命题“存在R，‎0”‎的否定是 ‎（A）不存在R, >0 （B）存在R, 0 ‎ ‎（C）对任意的R, 0 （D）对任意的R, >0‎ ‎【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。‎ 解析：由题否定即“不存在，使”，故选择D。‎ ‎（4）设函数则 A. 在区间内均有零点。‎ B. 在区间内均无零点。‎ C. 在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D. 在区间内无零点，在区间内有零点。‎ ‎【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。‎ 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。‎ ‎（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=‎ A. 26 B. ‎35 C. 40 D. 57‎ ‎【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。‎ 解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，故选择C。‎ ‎(6）设若的最小值为 A 8 B ‎4 C 1 D ‎ ‎【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。‎ ‎【解析】因为，所以，‎ ‎，当且仅当即时“=”成立，故选择C ‎（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。‎ 解析：由题知，所以 ‎，故选择A。‎ ‎（8）已知函数若则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。‎ 解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。‎ ‎（9）设抛物线的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。‎ 解析：由题知，‎ 又 由A、B、M三点共线有即，故， ‎ ‎∴，故选择A。‎ ‎（10）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，‎ 解析：由题得不等式＞即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即 二、填空题：（6小题，每题4分，共24分）‎ ‎（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。‎ ‎【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。‎ 解析：C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名。‎ ‎（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_______‎ ‎【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。‎ 解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有 ‎。‎ ‎(13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______‎ ‎【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。‎ 解析：由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。‎ ‎(14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________。‎ ‎【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。‎ 解析：由知的半径为，由图可知解之得 ‎(15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ‎ ‎【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。‎ 解析：由题知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，。‎ ‎（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）‎ ‎【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。‎ 解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA ‎(Ⅰ) 求AB的值；‎ ‎(Ⅱ) 求sin的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，‎ 于是 ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得 于是 ‎ 从而 ‎ 所以 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（Ⅰ） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。‎ 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望 ‎（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 ‎,‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 ‎++=‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体中， 平面, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎（Ⅰ）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-CD-E的余弦值。‎ 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.‎ 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°‎ ‎（Ⅱ）证明：因为且为的中点，所以，连接，则，又，故平面,而平面，所以平面 平面 ‎（Ⅲ）‎ 由（Ⅰ）可得，‎ 于是在中，‎ 所以二面角的余弦值为 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎（Ⅰ）解： ‎ 于是 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（Ⅱ）证明：由 可得，，因此，，又 ‎（Ⅲ）解：设平面的发向量为 于是 又由题设，平面的一个法向量为 因为二面角为锐角，所以其余弦值为 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知函数其中 ‎（Ⅰ）当时，求曲线处的切线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为 ‎（Ⅱ）解：‎ 令 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在内事增函数，在内是减函数。‎ 函数在处取得极大值 函数在处取得极小值 ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在内是增函数，在内是减函数。‎ 函数在处取得极大值 函数在处取得极小值 ‎（21）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB的斜率；‎ ‎（Ⅲ） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分 ‎（Ⅰ）解：由//且，得，从而 整理，得，故离心率 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为，即 由已知设，则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得.‎ 依题意，‎ 而 ①‎ ‎ ②‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ‎ ③‎ 联立①③解得，‎ 将代入②中，解得.‎ ‎(Ⅲ)解法一：由（Ⅱ）可知 当时，得，由已知得.‎ 线段的垂直平分线l的方程为，直线与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎ ， 由解得故 当时，同理可得 解法二：由（Ⅱ）可知 当时，得,由已知得 由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，‎ 且，所以四边形为等腰梯形.‎ 由直线的方程为,知点H的坐标为.‎ 因为，所以，解得m=c（舍），或.‎ 则，所以 当时，同理可得 ‎（22）（本小题满分14分）‎ 已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设,=-+…..+(-1 ,n ‎（Ⅰ）若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ ‎（Ⅱ）若=1，证明（1-q）‎ ‎（Ⅲ）若正整数n满足2nq，设的两个不同的排列，， 证明。‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：由题设，可得 所以，‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①式减去②式，得 ‎①式加上②式，得 ‎ ③‎ ‎③式两边同乘q，得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)证明：‎ ‎ ‎ 因为所以 ‎ ‎ （1） 若，取i=n （2） 若，取i满足且 由（1）,(2)及题设知，且 ‎ ‎ ① 当时，得 即，…，‎ 又所以 ‎ ‎ 因此 ① 当同理可得，因此 综上，‎