2007年江苏省高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2007年江苏省高考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 下列函数中，周期为π2的是（ ）
A.y=sinx2 B.y=sin2x C.y=cosx4 D.y=cos4x
2. 已知全集U=Z，A={-1, 0, 1, 2}，B={x|x2=x}，则A∩∁UB为( )
A.{-1, 2} B.{-1, 0} C.{0, 1} D.{1, 2}
3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为( )
A.5 B.52 C.3 D.2
4. 已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m // n，m⊥α⇒n⊥α
②α // β，m⊂α，n⊂β⇒m // n
③m // n，m // α⇒n // α
④α // β，m // n，m⊥α⇒n⊥β
其中正确命题的序号是( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
5. 函数f(x)=sinx-3cosx(x∈[-π, 0])的单调递增区间是( )
A.[-π, -56π] B.[-56π, -π6] C.[-π3, 0] D.[-π6, 0]
6. 设f(x)定义域为R，对任意的x都有f(x)=f(2-x)，且当x≥1时，f(x)=2x-1，则有（ ）
A.f(13)
0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则f(1)f'(0)的最小值为（ ）
A.3 B.52 C.2 D.32
10. 在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={(x, y)|x+y≤1, 且x≥0, y≥0}，则平面区域B={(x+y, x-y)|(x, y)∈A}的面积为（ ）
A.2 B.1 C.12 D.14
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11. 若cos(α+β)=15，cos(α-β)=35，则tanαtanβ=________．
12. 山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．（用数值作答）
13. 已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3, 3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m=________．
14. 正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45∘，则点A到侧面PBC的距离是________．
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(-4, 0)和C(4, 0)，顶点B在椭圆x225+y29=1上，则sinA+sinCsinB=________．
16. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0, 60]．
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三、解答题（共5小题，满分70分）
17. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
18. 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=23，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1；
（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0, c)任作一直线，与抛物线y＝x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y＝-c交于P，Q，
（1）若OA→⋅OB→=2，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
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20. 已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，
(1)若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=(m-1)a1；
(2)若b3=ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．
21. 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax3+bx2+cx+d．方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根；反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根．
(1)求d的值；
(2)若a=0，求c的取值范围；
(3)若a=1，f(1)=0，求c的取值范围．
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参考答案与试题解析
2007年江苏省高考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.D
2.A
3.A
4.C
5.D
6.B
7.B
8.A
9.C
10.B
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11.12
12.75
13.32
14.655
15.54
16.10sinπt60
三、解答题（共5小题，满分70分）
17.解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，
5次预报中恰有2次准确的概率是
p=C52(45)2(1-45)3=10×1625×1125≈0.05
（2）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，
5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确，
根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到
P=1-C51×45(1-45)4-(1-45)5=1-0.0064-0.00032≈0.99
（3）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8
5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，
根据独立重复试验的概率公式得到
P=C41×45(1-45)3×45≈0.02
18.解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F // CN，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN // AD，且EN=AD，又
BC // AD，且AD=BC，所以EN // BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN // BE，所以D1F // BE，所以E，B，F，D1四点共面；
（2）因为GM⊥BF所以△BCF∽△MBG，
所以MBBC=BGCF，即MB3=232，所以MB=1，因为AE=1，
所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1
，且EM在平面ABB1A1内，所以EM⊥面BCC1B1；
（3）EM⊥面BCC1B1，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，
所以∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，
∠EMH=90∘，所以tanθ=MEMH，ME=AB=3，△BCF∽△MHB，
所以3:MH=BF:1，BF=22+32=13，
所以MH=313，所以tanθ=MEMH=13．
19.设过C点的直线为y＝kx+c，所以x2＝kx+c(c>0)，即x2-kx-c＝0，
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设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
OA→=(x1, y1)，OB→=(x2,y2)，
因为OA→⋅OB→=2，所以x1x2+y1y2＝2，即x1x2+(kx1+c)(kx2+c)＝2，x1x2+k2x1x2-kc(x1+x2)+c2＝2
所以-c-k2c+kc⋅k+c2＝2，即c2-c-2＝0，
所以c＝2（舍去c＝-1）
设过A的切线为y-y1＝k1(x-x1)，y'＝2x，所以k1＝2x1，即y＝2x1x-2x12+y1＝2x1x-x12，
它与y＝-c的交点为M(x12-c2x1,-c)，
又P(x1+x22,y1+y22)=(k2,k22+c)，
所以Q(k2,-c)，
因为x1x2＝-c，所以-cx1=x2，
所以M(x12+x22,-c)=(k2,-c)，
所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．
（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q(k2,-c)，
因为PQ⊥x轴，所以P(k2,yP)
因为x1+x22=k2，所以P为AB的中点．
20.解：设{an}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1(q-1)(a1≠0)
(1)因为bk=am，所以a1qk-1=a1+(m-1)a1(q-1)，qk-1=1+(m-1)(q-1)=2-m+(m-1)q，
所以Sk-1=a1(1-qk-1)1-q=a1(m-1-(m-1)q)q=(m-1)a1
(2)b3=a1q2，ai=a1+(i-1)a1(q-1)，由b3=ai，
所以q2=1+(i-1)(q-1)，q2-(i-1)q+(i-2)=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+)，设数列{an}中的某一项am(m∈N+)=a1+(m-1)a1(q-1)
现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+(m-1)a1(q-1)中m有正整数解即可，m-1=qn-1-1q-1=1+q+q2+...+qn-2，所以m=2+q+q2+qn-2，若i=1，则q=-1，那么b2n-1=b1=a1，b2n=b2=a2，当i≥3时，因为a1=b1，a2=b2，只要考虑n≥3的情况，因为b3=ai，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+)与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等，从而结论成立．
(3)设数列{bn}中有三项bm，bn，bp(m0，符合题意．
当(-c)2-4c≥0，即c<0或c≥4时，由方程④得f(x)=-cx2+cx=c±c2-4c2，
即cx2-cx+c±c2-4c2=0，⑤
则方程⑤应无实数根，
所以有(-c)2-4c⋅c+c2-4c2<0且(-c)2-4c⋅c-c2-4c2<0．
当c<0时，只需-c2-2cc2-4c<0，解得0
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