2013年普通高等学校招生全国统一考试 理数（天津卷）（含答案）

2013年普通高等学校招生全国统一考试 理数（天津卷）（含答案）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页. ‎ 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. ‎ 祝各位考生考试顺利! ‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. ‎ 2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. ‎ 参考公式: ‎ ‎·如果事件A, B互斥, 那么 ‎ ‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh，‎ 其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高. ‎ ‎·如果事件A, B相互独立, 那么 ‎·球的体积公式 ‎ 其中R表示球的半径. ‎ 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 ‎ ‎ (A) (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1]‎ ‎(2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为 ‎ (A) －7 (B) －4‎ ‎ (C) 1 (D) 2‎ ‎(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 ‎ (A) 64 (B) 73‎ ‎ (C) 512 (D) 585‎ ‎(4) 已知下列三个命题: ‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;‎ ‎②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ‎ ‎③直线x + y + 1 = 0与圆相切. ‎ 其中真命题的序号是:‎ ‎ (A) ①②③ (B) ①②‎ ‎ (C) ②③ (D) ②③‎ ‎(5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = ‎ ‎ (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3‎ ‎(6) 在△ABC中, 则 = ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(7) 函数的零点个数为 ‎ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎(8) 已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 理 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. ‎ ‎2. 本卷共12小题, 共110分.‎ 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. ‎ ‎(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .‎ ‎(10) 的二项展开式中的常数项为 .‎ ‎(11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .‎ ‎(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ ‎(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .‎ ‎(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值. ‎ 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ‎ ‎(15) (本小题满分13分)‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎(16) (本小题满分13分)‎ 一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). ‎ ‎(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. ‎ ‎(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. ‎ ‎(17) (本小题满分13分) ‎ 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. ‎ ‎(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; ‎ ‎(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值. ‎ ‎(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. ‎ ‎(18) (本小题满分13分)‎ 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ ‎(19) (本小题满分14分)‎ 已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. ‎ ‎(20) (本小题满分14分)‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. ‎ ‎(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有 ‎.‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分40分.‎ ‎1.D 2.A 3.B 4.C ‎ ‎5.C 6.C 7.B 8.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分30分.‎ ‎ （9） （10）15 （11）‎ ‎（12） （13） （14）‎ 三、解答题 ‎ （15） 本小题主要考察两角和与差的正弦公式/二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期/单调性等基础知识,考察基本运算能力.满分13分 ‎ （I）解：‎ ‎ ‎ 所以 的最小正周期 ‎（Ⅱ）解：因为在区间上是增函数，在区间上是减函数，又 f ( 0)=2，f ( )=，f ( )=2，故函数在区间上的最大值为，最小值为2.‎ ‎（16） 本小题主要考察古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识。考察运用概率知识解决简单实际问题的能力。满分13分 ‎（I）解：设“去除的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1, 2, 3, 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望EX=‎ ‎17.本小题主要考察空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识。考查用空间向量解决立体几何问题的方法。考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分13分 ‎（方法一）‎ 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，‎ 依题意得A（0,0,0），B（0,0,2），C（1,0,1），‎ ‎（I）证明：易得 于是.‎ ‎ （II）解：=.‎ 设平面的法向量，则即消去x，得y+2z=0，不防令z=1，可得一个法向量为m=（-3，-2,1）.‎ 由（I），,又，可得,故为平面的一个法向量。‎ 于是，从而.‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）解：,=(1,1,1). 设,0≤≤1，有. 可取为平面的一个法向量. ‎ ‎ 设为直线与平面所成的角，则 ‎==.‎ 于是=，解得，所以.‎ ‎（方法二）‎ ‎（I）证明：因为侧棱底面,平面，所以. 经计算可得 ‎,从而,所以在 中，,又 ‎，所以平面，又平面 ‎，故.‎ ‎ （II）解：过作于点,连接. 由（I）， ，故平面，，所以为二面角的平面角， ‎ ‎ 中，由 ， ，可得，在中， ，所以，即二面角的正弦值为.‎ ‎(III) 解：连接,过点作于点，可得平面，连接,，则为直线与平面所成的角.‎ 设，从而在中，有.在中，, 得. 在中，,‎ ‎，由,得，‎ 整理得，解得. 所以线段的长为.‎ ‎（18） 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分13分。‎ ‎（I）解：设，由，知.过点且与轴垂直的直线为，代人椭圆方程有，解得，于是，‎ 解得，又，从而，所以椭圆的方程为.‎ ‎ ‎ ‎（II）解：设点，由得直线的方程为，由方程组消去y，整理得.‎ 求解可得，. 因为，所以 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =.‎ 由已知得=8，解得.‎ ‎（19） 本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识。考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.‎ ‎（I）解：设等比数列的公比为，因为 成等差数列 ，所以，即 ，于是.‎ 又不是递减数列且，所以. 故等比数列的通项公式为.‎ ‎（II）解：由（I）得 当为奇数时，随的增大而减小，所以1＜，‎ 故0＜≤.‎ 当为偶数时，随的增大而增大，所以≤＜1，‎ 故0＞≥.‎ 综上，对于总有≤≤.‎ 所以数列最大项的值为，最小项的值为.‎ ‎（20） 本小题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分。‎ ‎（I）解：函数的定义域为.‎ ‎，令=0，得.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 极小值 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（II）证明：0＜≤1时，≤0.‎ 设＞0，令，.由（I）知，在区间内单调递增.＜0,＞0.故存在唯一的，使得成立.‎ ‎（III）证明：因为，由（II）知，，＞1，从而 ‎ ，‎ 其中.要使＜＜成立，只需0＜＜.‎ 当＞时，若，则由的单调性，有，矛盾，所以＞，即＞1，从而＞0成立.‎ 另一方面，令，令 ‎=0，得=2，当1＜＜2时，＞0，当＞2时，＜0‎ 故＞1，≤＜0. 因此＜成立. ‎ ‎ 综上，当＞时，有＜＜.‎