高中数学 必修4平面向量2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

高中数学 必修4平面向量2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

1 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二) 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算 律进行计算或证明． 知识点一 平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确 结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误 分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确 消去律 ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝ c 错误 知识点二 平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋ 2c·a 1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) 2．已知 a≠0，且 a·c＝a·b，则 b＝c.( × ) 3．λ(a·b)＝λa·b.( √ ) 2 类型一 向量数量积的运算性质 例 1 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b 不与 c 垂直； ③|a|－|b|<|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确结论的序号是________． 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 ①③④ 解析 根据向量积的分配律知①正确； 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b 与 c 垂直，②错误； 因为 a，b 不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确； ④正确．故正确结论的序号是①③④. 反思与感悟 向量的数量积 a·b 与实数 a，b 的乘积 a·b 有联系，同时有许多不同之处．例 如，由 a·b＝0 并不能得出 a＝0 或 b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练 1 对于任意向量 a，b，c，下列说法中正确的是( ) A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b| C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝ a2 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 D 解析 因为 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|≤|a||b|，所以 A 错误； 根据向量加法的平行四边形法则， |a＋b|≤|a|＋|b|，只有当 a，b 同向时取“＝”， 所以 B 错误；因为(a·b)c 是向量，其方向与向量 c 相同，a(b·c)是向量，其方向与向量 a 的方向相同，所以 C 错误； 因为 a·a＝|a||a|cos0＝|a|2， 所以|a|＝ a2，所以 D 正确． 3 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度 1 利用向量数量积处理垂直问题 例 2 已知|a|＝3，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当 m 为 何值时，c 与 d 垂直． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 解 由已知得 a·b＝3×2×cos60°＝3. 若 c⊥d，则 c·d＝0， ∴c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87 ＝0， ∴m＝29 14 ，即当 m＝29 14 时，c 与 d 垂直． 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b⇔a·b＝0. 跟踪训练 2 已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)·b，且 b⊥c，则 t＝ ________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 2 解析 由题意，将 b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0 整理，得 ta·b＋(1－t)＝0，又 a·b＝1 2 ， 所以 t＝2. 命题角度 2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例 3 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 (0,1)∪(1，＋∞) 解析 ∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke2 1＋ke2 2＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k>0，∴k>0. 但当 k＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去． 4 综上，k 的取值范围为 k>0 且 k≠1. 反思与感悟 向量 a，b 的夹角为锐角，得到 a·b>0；反之，a·b>0 不能说明 a，b 的夹角 为锐角，因为 a，b 夹角为 0°时也有 a·b>0.同理，向量 a，b 的夹角为钝角，得到 a·b<0； 反之，a·b<0 不能说明 a，b 的夹角为钝角，因为 a，b 夹角为 180°时也有 a·b<0. 跟踪训练 3 若向量 e1，e2 满足|e1|＝|e2|＝1，e1，e2 的夹角为 60°，向量 2te1＋e2 与向量 e1－e2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 解 设向量 2te1＋e2 与向量 e1－e2 的夹角为θ，由θ为钝角，知 cosθ<0，故(2te1＋e2)·(e1 －e2)＝2te2 1＋(－2t＋1)e1·e2－e2 2＝t－1 2 <0，解得 t<1 2 . 又当θ＝π时，也有(2te1＋e2)·(e1－e2)<0， 但此时夹角不是钝角，设向量 2te1＋e2 与向量 e1－e2 反向，则 2te1＋e2＝k(e1－e2)(k<0)， 又 e1 与 e2 不共线，从而 2t＝k， 1＝－k， 解得 t＝－1 2 ，即当 t＝－1 2 时，向量 2te1＋e2 与向量 e1 －e2 的夹角为 180°， 故 t 的取值范围是 t|t<1 2 ，且 t≠－1 2 . 1．下面给出的关系式中正确的个数是( ) ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2. A．1B．2C．3D．4 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 C 解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ，故选 C. 2．已知|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 之间的夹角为 60°，那么向量 a－4b 的模为( ) A．2B．2 3C．6D．12 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 B 解析 ∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 5 ＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12， ∴|a－4b|＝2 3. 3．已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝1 3 .若 n⊥(tm＋n)，则实数 t 的值为 ( ) A．4B．－4C.9 4 D．－9 4 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 B 解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即 tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2 ＝0，由已知得 t×3 4 |n|2×1 3 ＋|n|2＝0，解得 t＝－4，故选 B. 4．在△ABC 中，AB→＝a，BC→＝b，且 a·b>0，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D 解析 由AB→·BC→>0 知，BA→·BC→<0，即角 B 为钝角． 5．已知|a|＝1，|b|＝ 2，且(a＋b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 3π 4 解析 ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0， ∴a·b＝－a2＝－1， 设 a 与 b 的夹角为θ， ∴cosθ＝ a·b |a||b| ＝ －1 1× 2 ＝－ 2 2 ， 又θ∈[0，π]，∴θ＝3π 4 . 1．数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c 是一个与 c 共线 6 的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b 是一个与 b 共线的向量，若 b 与 c 不共线， 则两者不相等． 2．在实数中，若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0，但是在数量积中，即使 a·b＝0，也不能推出 a ＝0 或 b＝0，因为其中 cosθ有可能为 0. 3．在实数中，若 ab＝bc，b≠0，则 a＝c，在向量中 a·b＝b·c，b≠0⇏ a＝c. 一、选择题 1．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ 2，a 与 b 的夹角为 90°，b 与 c 的夹角为 45°，则 a·(b·c) 的化简结果是( ) A．0B．aC．bD．c 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质和法则 答案 B 解析 b·c＝|b||c|cos45°＝1. ∴a·(b·c)＝a. 2．已知 a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b 与λa－b 垂直，则λ等于( ) A.3 2 B．－3 2 C．±3 2 D．1 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 A 解析 ∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2 ＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝3 2 . 3．(2017·嘉峪关高一检测)已知向量 a，b 为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则 a，b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B 解析 设 a 与 b 的夹角为θ. 因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b， 7 所以(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0， (b－2a)·b＝b2－2a·b＝0. 所以 a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以 a2＝b2， 所以|a|＝|b|， 所以 cosθ＝ a·b |a||b| ＝a·b |a|2 ＝a·b a2 ＝ a·b 2a·b ＝1 2 . 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π 3 . 所以 a，b 夹角为π 3 . 8 4．在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→，且AC→·BD→＝0，则四边形 ABCD 是( ) A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 B 解析 由AB→＝DC→知四边形 ABCD 是平行四边形，由AC→·BD→＝0 知 AC⊥BD，即对角线垂直，所以 四边形 ABCD 是菱形． 5．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则 a 与 b 的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 C 解析 由题知，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2 ＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0， ∴cos〈a，b〉＝－1 2 ， 又∵〈a，b〉∈[0°，180°]， ∴a，b 的夹角为 120°. 6．已知向量AB→与AC→的夹角为 120°，且|AB→|＝2，|AC→|＝3.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则 实数λ的值为( ) A.3 7 B．13C．6D.12 7 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 D 解析 ∵AB→与AC→的夹角为 120°，且|AB→|＝2，|AC→|＝3， ∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos120° ＝2×3× －1 2 ＝－3. ∵AP→·BC→＝(AC→＋λAB→)·(AC→－AB→) ＝AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0， 9 ∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0， 解得λ＝12 7 ，故选 D. 7．(2017·惠州高一检测)若 O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→) ＝0，则△ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 A 解析 因为(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0， 即CB→·(AB→＋AC→)＝0， 又因为AB→－AC→＝CB→， 所以(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0， 即|AB→|＝|AC→|， 所以△ABC 是等腰三角形． 二、填空题 8．已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则 a 与 b 的夹角θ为________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 π 3 解析 因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1， 所以 6a·b－8＋5＝0，即 a·b＝1 2 . 又 a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ， 所以 cosθ＝1 2 ， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π 3 . 9．已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，且 a＋2b 与 a－2b 的夹角为 120°，则|a| |b| ＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 10 答案 2 3 3 解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0， (a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2， |a＋2b|＝ a2＋4a·b＋4b2＝ a2＋4b2， |a－2b|＝ a2－4a·b＋4b2＝ a2＋4b2， ∴a2－4b2＝ a2＋4b2· a2＋4b2·cos120°， 化简得 3 2 a2－2b2＝0， ∴|a| |b| ＝2 3 3 . 10．设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2 的 值是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 4 解析 方法一 由 a＋b＋c＝0，得 c＝－a－b. 又(a－b)·c＝0， ∴(a－b)·(－a－b)＝0， 即 a2＝b2. 则 c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 方法二 如图，作AB→＝BD→＝a. BC→＝b，则CA→＝c， ∵a⊥b，∴AB⊥BC， 又∵a－b＝BD→－BC→＝CD→， (a－b)⊥c，∴CD⊥CA， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝ 2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 11．已知向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数 x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则 a， b 的夹角的大小为________． 11 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 2π 3 解析 由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2， 即 a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2， 设 a 与 b 的夹角为θ， 则 4＋4cosθ·x＋x2≥4＋4cosθ＋1， 即 x2＋4cosθ·x－1－4cosθ≥0， 因为对一切实数 x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立， 所以Δ＝16cos2θ＋4(1＋4cosθ)≤0， 即(2cosθ＋1)2≤0， 所以 2cosθ＋1＝0，cosθ＝－1 2 . 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π 3 . 12．已知平面上三个向量 a，b，c 的模均为 1，它们相互之间的夹角为 120°.若|ka＋b＋ c|>1(k∈R)，则 k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 {k|k<0 或 k>2} 解析 因为|ka＋b＋c|>1， 所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1， 即 k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1. 因为 a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝－1 2 ， 所以 k2－2k>0，所以 k>0， k－2>0 或 k<0， k－2<0， 解得 k<0 或 k>2， 即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}． 三、解答题 13．设两个向量 e1，e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与 e1 ＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 12 解 设向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为θ. 根据题意，得 cosθ＝ 2te1＋7e2· e1＋te2 |2te1＋7e2||e1＋te2| <0， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0. 化简，得 2t2＋15t＋7<0， ∴ 2t＋1>0， t＋7<0 或 2t＋1<0， t＋7>0， 解得－7

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