高考数学专题复习：课时达标检测（二十三） 三角恒等变换

高考数学专题复习：课时达标检测（二十三） 三角恒等变换

课时达标检测（二十三） 三角恒等变换 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．计算的值为(　　)‎ A．－ B. ‎ C. D．－ 解析：选B　＝ ‎＝＝＝.‎ ‎2．已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．1‎ 解析：选C　由已知得cos α＝，sin α＝－，‎ 所以cos＝cos α＋sin α＝－.‎ ‎3．(2017·江西新余三校联考)已知cos＝－，则sin的值为(　　)‎ A. B. ‎ C．± D．± 解析：选C　因为cos＝cos＝，所以有sin2＝＝＝，从而求得sin的值为±，故选C.‎ ‎4．已知sin－α＝，则cos2的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选D　∵sin＝，‎ ‎∴cos＝cos2－α ‎＝1－2sin2－α＝，‎ ‎∴cos2＋α＝cos ‎＝cosπ－＝－cos－2α＝－.‎ ‎5．已知sin＋sin α＝，则sin的值是________．‎ 解析：∵sin＋sin α＝，‎ ‎∴sincos α＋cos sin α＋sin α＝，‎ ‎∴sin α＋cos α＝，‎ 即sin α＋cos α＝，‎ 故sin＝sin αcos＋cos αsin ‎＝－＝－.‎ 答案：－ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选D　依题意得cos2＝cos αcos＋sin αsin2＝(cos α＋sin α)2＝(1＋sin 2α)＝.‎ ‎2．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)‎ A．－ B．± C．－1 D．±1‎ 解析：选C　∵cos＝－，‎ ‎∴cos x＋cosx－＝cos x＋cos xcos＋sin xsin＝cos x＋sin x＝＝cos＝×＝－1.‎ ‎3．若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝3，故选C.‎ ‎4．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选C　由sin＝得sin α－cos α＝，　①‎ 由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，‎ 所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝，　②‎ 由①②可得cos α＋sin α＝－，　③‎ 由①③可得sin α＝.‎ ‎5．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，‎ 在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，‎ 又tan B·tan C＝1－，‎ 所以tan(B＋C)＝＝－1.‎ 由已知，有tan A＝－tan(B＋C)，‎ 则tan A＝1，所以A＝.‎ ‎6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)‎ A．α<<β B．β<<α C.<α<β D.<β<α 解析：选B　∵α为锐角，sin α－cos α＝，‎ ‎∴α>.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝，‎ ‎∴α＋β＝，又α>，‎ ‎∴β<<α.‎ 二、填空题 ‎7．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．‎ 解析：∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 答案：π ‎8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.‎ 解析：∵α∈，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝>0，∴2α∈，∴sin 2α＝＝，∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.‎ 答案： ‎9．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.‎ 解析：由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈，故α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.‎ 答案：－ ‎10．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝________.‎ 解析：∵0<α<，－<β<0，∴<＋α<，<－<，∴sin＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＋α－－＝coscos＋sin＋αsin＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若sin α＝，且α∈，求f.‎ 解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x ‎＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，‎ 所以f＝＋sin ‎＝＋sin＝＋.‎ 因为sin α＝，且α∈，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以f＝＋×－× ‎＝.‎ ‎12．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解：(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. ‎