高考数学专题复习练习：考点规范练45
考点规范练45 椭圆
考点规范练A册第34页
基础巩固组
1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )
A.x2169+y2144=1 B.x2144+y2169=1
C.x2169+y225=1 D.x2144+y225=1
答案A
解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆方程为x2169+y2144=1.
2.已知椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为( )
A.-1925 B.21
C.-1925或21 D.1925或21
答案C
解析若a2=9,b2=4+k,则c=5-k,
由ca=45,即5-k3=45,得k=-1925;
若a2=4+k,b2=9,则c=k-5,
由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.
3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足( )
A.a2>b2 B.1a<1b
C.0
1b>0,所以0|MN|,
由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
6.(2016全国乙卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34〚导学号74920326〛
答案B
解析设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),
则直线l的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,
短轴长为2b,由题意得bcb2+c2=14×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=12.
7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于13,其焦点分别为A,B,C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,sinA+sinBsinC的值等于 .〚导学号74920327〛
答案3
解析在△ABC中,由正弦定理得sinA+sinBsinC=|CB|+|CA||AB|,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以sinA+sinBsinC=2a2c=1e=3.
8.
(2016江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .〚导学号74920328〛
答案63
解析由题意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.
因为∠BFC=90°,所以BF·CF=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.
9.(2016山西朔州模拟)已知F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.
(1)求△ABF2的周长;
(2)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面积.
解(1)∵F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.
∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=42.
(2)设直线l的方程为x=my-1,
由x=my-1,x2+2y2-2=0,得(m2+2)y2-2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.
∵AF2⊥BF2,∴F2A·F2B=0,
∴F2A·F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(my1-2)(my2-2)+y1y2
=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4
=-(m2+1)m2+2-2m×2mm2+2+4=-m2+7m2+2=0.
∴m2=7.
∴△ABF2的面积S=12×|F1F2|×(y1+y2)2-4y1y2=89.〚导学号74920329〛
10.(2016北京,文19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
又c=a2-b2=3,所以离心率e=ca=32.
(2)证明设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x02+4y02=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2).
令x=0,得yM=-2y0x0-2,
从而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.
直线PB的方程为y=y0-1x0x+1.
令y=0,得xN=-x0y0-1,
从而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.
所以四边形ABNM的面积
S=12|AN|·|BM|
=122+x0y0-11+2y0x0-2
=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+42(x0y0-x0-2y0+2)
=2x0y0-2x0-4y0+4x0y0-x0-2y0+2=2.
从而四边形ABNM的面积为定值.〚导学号74920330〛
能力提升组
11.已知P是椭圆x225+y2b2=1(0b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为( )
A.32 B.22 C.12 D.14〚导学号74920332〛
答案C
解析因为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.
因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=c4a2,n2=c4a2+c22,所以2c4a2+c22=c2,化为c2a2=14,所以e=ca=12.
13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 .〚导学号74920333〛
答案22
解析设Q(x0,y0),
则y0x0-c=-cb,bc·x0+c2=y02,解得x0=c(c2-b2)a2,y0=2bc2a2.
因为点Q在椭圆上,所以c2(c2-b2)2a4·a2+4b2c4a4·b2=1,
化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.
即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.
所以e=22.
14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(1)解由题意有a2-b2a=22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为x28+y24=1.
(2)证明设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入x28+y24=1,
得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=k·xM+b=b2k2+1.
于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,即kOM·k=-12.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.〚导学号74920334〛
高考预测
15.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,P43,b3是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.
解(1)F(c,0),A(0,b),由题设可知FA·FP=0,得c2-43c+b23=0,①
又点P在椭圆C上,
可知169a2+b29b2=1,即a2=2.②
又b2+c2=a2=2,③
①③联立解得,c=1,b2=1.
故所求椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消去y,
整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.(*)
因为方程(*)有且只有一个实根,又2k2+1>0,
所以Δ=0,得m2=2k2+1.
假设存在M1(λ1,0),M2(λ2,0)满足题设,则由
d1·d2=|(λ1k+m)(λ2k+m)|k2+1
=|λ1λ2k2+(λ1+λ2)km+2k2+1|k2+1
=(λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1k2+1
=1对任意的实数k恒成立,
所以λ1λ2+2=1,λ1+λ2=0,
解得λ1=1,λ2=-1或λ1=-1,λ2=1.
当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.
综上,存在两个定点M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线l的距离之积等于1.〚导学号74920335〛
