高考数学专题复习练习:6_3 等比数列及其前n项和

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高考数学专题复习练习:6_3 等比数列及其前n项和

‎1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).‎ ‎2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1.‎ ‎3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.‎ ‎4.等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.‎ ‎(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.‎ ‎5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,‎ 当q=1时,Sn=na1;‎ 当q≠1时,Sn==.‎ ‎6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.‎ ‎【知识拓展】‎ 等比数列{an}的单调性 ‎(1)满足或时,{an}是递增数列.‎ ‎(2)满足或时,{an}是递减数列.‎ ‎(3)当时,{an}为常数列.‎ ‎(4)当q<0时,{an}为摆动数列.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )‎ ‎(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × )‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × )‎ ‎1.(教材改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于(  )‎ A.- B.-2‎ C.2 D. 答案 D 解析 由题意知q3==,∴q=.‎ ‎2.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于(  )‎ A.21 B.42 C.63 D.84‎ 答案 B 解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.‎ ‎3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6等于(  )‎ A.31 B.32 C.63 D.64‎ 答案 C 解析 根据题意知,等比数列{an}的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.‎ ‎4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.‎ 答案 27,81‎ 解析 设该数列的公比为q,由题意知,‎ ‎243=9×q3,q3=27,∴q=3.‎ ‎∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.‎ ‎5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________.‎ 答案 -11‎ 解析 设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0.‎ ‎∴q3+8=0,∴q=-2,‎ ‎∴=· ‎===-11.‎ 题型一 等比数列基本量的运算 例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(  )‎ A.2 B.1 C. D. ‎(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=________.‎ 答案 (1)C (2)2n-1‎ 解析 (1)由{an}为等比数列,得a3a5=a,‎ 又a3a5=4(a4-1),所以a=4(a4-1),‎ 解得a4=2.设等比数列{an}的公比为q,‎ 则由a4=a1q3,得2=q3,解得q=2,‎ 所以a2=a1q=.故选C.‎ ‎(2)∵∴ 由①除以②可得=2,‎ 解得q=,代入①得a1=2,‎ ‎∴an=2×()n-1=,‎ ‎∴Sn==4(1-),‎ ‎∴==2n-1.‎ 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.‎ ‎ (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.‎ 答案 (1)B (2)3n-1‎ 解析 (1)显然公比q≠1,由题意得 解得或(舍去),‎ ‎∴S5===.‎ ‎(2)由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,‎ 可得a3=3a2,所以公比q=3,‎ 故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.‎ 题型二 等比数列的判定与证明 例2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明 由a1=1及Sn+1=4an+2,‎ 得a1+a2=S2=4a1+2.‎ ‎∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.‎ 又 由①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),‎ ‎∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).‎ ‎∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),‎ 故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,‎ ‎∴-=,‎ 故{}是首项为,公差为的等差数列.‎ ‎∴=+(n-1)·=,‎ 故an=(3n-1)·2n-2.‎ 引申探究 若将本例中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他不变,求数列{an}的通项公式.‎ 解 由已知得n≥2时,Sn=2Sn-1+n.‎ ‎∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,‎ ‎∴an+1=2an+1,‎ ‎∴an+1+1=2(an+1),n≥2,(*)‎ 又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1),‎ ‎∴当n=1时(*)式也成立,‎ 故{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,‎ ‎∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.‎ 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.‎ ‎ 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.‎ ‎(1)证明:{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:++…+<.‎ 证明 (1)由an+1=3an+1,得an+1+=3(an+).‎ 又a1+=,‎ 所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列.‎ 所以an+=,因此{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)由(1)知=.‎ 因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.‎ 于是++…+≤1++…+ ‎=(1-)<,‎ 所以++…+<.‎ 题型三 等比数列性质的应用 例3 (1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.‎ 答案 (1)50 (2) 解析 (1)因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,‎ 所以a10a11=e5.‎ 所以ln a1+ln a2+…+ln a20‎ ‎=ln(a1a2…a20)‎ ‎=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]‎ ‎=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)‎ ‎=10ln e5=50ln e=50.‎ ‎(2)方法一 ∵S6∶S3=1∶2,∴{an}的公比q≠1.‎ 由÷=,得q3=-,‎ ‎∴==.‎ 方法二 ∵{an}是等比数列,且=,∴公比q≠-1,‎ ‎∴S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即(S6-S3)2=S3·(S9-S6),‎ 将S6=S3代入得=.‎ 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变形;(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ ‎ (1)已知在等比数列{an}中,a1a4=10,则数列{lg an}的前4项和等于(  )‎ A.4 B.3‎ C.2 D.1‎ ‎(2)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(  )‎ A. B.- C. D. 答案 (1)C (2)A 解析 (1)前4项和S4=lg a1+lg a2+lg a3+lg a4=lg(a1a2a3a4),又∵等比数列{an}中,a2a3=a1a4=10,‎ ‎∴S4=lg 100=2.‎ ‎(2)因为a7+a8+a9=S9-S6,且公比不等于-1,在等比数列中,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=(-1)2,S9-S6=,即a7+a8+a9=.‎ ‎13.分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 (12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:Sn+≤(n∈N*).‎ 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;‎ ‎(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.‎ 规范解答 ‎(1)解 设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为-2S2,S3,4S4成等差数列,‎ 所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,‎ 可得2a4=-a3,于是q==-.[2分]‎ 又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为 an=×n-1=(-1)n-1·.[3分]‎ ‎(2)证明 由(1)知,Sn=1-n,‎ Sn+=1-n+ ‎=[6分]‎ 当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S1+=.[8分]‎ 当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S2+=.[10分]‎ 故对于n∈N*,有Sn+≤.[12分]‎ ‎1.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=-1,a5=+1,则a+2a2a6+a3a7等于(  )‎ A.4 B.6‎ C.8 D.8-4 答案 C 解析 在等比数列中,a3a7=a,a2a6=a3a5,所以a+2a2a6+a3a7=a+2a3a5+a=(a3+a5)2=(-1++1)2=(2)2=8.‎ ‎2.(2016·珠海模拟)在等比数列{an}中,若a1<0,a2=18,a4=8,则公比q等于(  )‎ A. B. C.- D.或- 答案 C 解析 由解得或 又a1<0,因此q=-.‎ ‎3.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于(  )‎ A.12 B.13‎ C.14 D.15‎ 答案 C 解析 设数列{an}的公比为q,‎ 由a1a2a3=4=aq3与a4a5a6=12=aq12,‎ 可得q9=3,an-1anan+1=aq3n-3=324,‎ 因此q3n-6=81=34=q36,‎ 所以n=14,故选C.‎ ‎*4.(2015·福建)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ 答案 D 解析 由题意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有a,-2,b;b,-2,a.‎ ‎∴或解得或 ‎∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.‎ ‎5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了(  )‎ A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 答案 B 解析 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q=,‎ 依题意有=378,‎ 解得a1=192,则a2=192×=96,‎ 即第二天走了96里,故选B.‎ ‎6.(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为(  )‎ A. B. C.1 D.- 答案 B 解析 因为a3a4a5=3π=a,所以a4=.‎ log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)‎ ‎=log3a=7log3=,‎ 所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.‎ ‎7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=________.‎ 答案 4‎ 解析 因为 由①-②,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,‎ 则q==4.‎ ‎8.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40=________.‎ 答案 150‎ 解析 依题意,知数列{an}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1(n∈N*),则通项an=________.‎ 答案  解析 ∵an+Sn=1,①‎ ‎∴a1=,an-1+Sn-1=1(n≥2),②‎ 由①-②,得an-an-1+an=0,即=(n≥2),‎ ‎∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列,‎ 则an=×()n-1=.‎ ‎10.已知数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10·b11=2,则a21=________.‎ 答案 1 024‎ 解析 ∵b1==a2,b2=,‎ ‎∴a3=b2a2=b1b2,∵b3=,‎ ‎∴a4=b1b2b3,…,an=b1b2b3·…·bn-1,‎ ‎∴a21=b1b2b3·…·b20=(b10b11)10=210=1 024.‎ ‎11.已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ 解 (1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.‎ 故Sn=1+3+…+(2n-1)‎ ‎===n2.‎ ‎(2)由(1)得a4=7,S4=16.‎ 因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,‎ 所以(q-4)2=0,从而q=4.‎ 又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,‎ 所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).‎ ‎12.(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解 (1)由题意,得a2=,a3=.‎ ‎(2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0,得 ‎2an+1(an+1)=an(an+1).‎ 因为{an}的各项都为正数,所以=.‎ 故{an}是首项为1,公比为的等比数列,‎ 因此an=.‎ ‎13.已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=n,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn;‎ ‎(2)求T2n.‎ 解 (1)∵an·an+1=n,‎ ‎∴an+1·an+2=n+1,‎ ‎∴=,即an+2=an.‎ ‎∵bn=a2n+a2n-1,‎ ‎∴===,‎ ‎∵a1=1,a1·a2=,‎ ‎∴a2=⇒b1=a1+a2=.‎ ‎∴{bn}是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎∴bn=×n-1=.‎ ‎(2)由(1)可知,an+2=an,‎ ‎∴a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,‎ ‎∴T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=+ ‎=3-.‎
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