广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性学习效率检测调研卷数学试题

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1 十月联考高三数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合  | 2 1A x x= −  ，  3, 1,0,1,3B = − − ，则 AB= （ ） A  3, 1−− B  1,0,1− C  0,1 D  1,3 2. 已知i 为虚数单位，复数 1 3i 3iz −= + ，则 z = （ ） A 1 B 2 C 22 D 10 3. 已知向量 ( )1,2a = ， ( )2,bm=− ，且( ) //a b a+ ，则 m 的值为（ ） A 1 B 1− C 4 D 4− 4. 已知等差数列 na 的前 n 项为 nS ， 2 6nS = ， 3 12nS = ，则 nS 的值为（ ） A 2 B 0 C 3 D 4 5. 如图，在一个凸四边形 ABCD 内，顺次连接四边形各边中点 , , ,E F G H 而成的四边形 是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形. 如图，现有一个面积 为12的凸四边形 ABCD，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为 1 1 1 1A B C D ，记其面积为 1a ， 四边形为 对应的瓦里尼翁平行四边形为 2 2 2 2A B C D ，记其面积为 2 ,a ，依次类 推，则由 此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形 4 4 4 4A B C D 的面积为（ ） A 1 B 4 27 C 3 4 D 不确定 6. 已知cos cos 13 + + = ，则sin 3  −= （ ） A 1 3 B 3 3 C 3 D 3 3− 2 7. 在 ( )6 2 x y x y−+ 的展开式中， 34xy的系数是（ ） A 20 B 15 2 C 5− D 25 2− 8. 已知函数 ( ) ( )1 2sin1f x xx =+− ，则函数 ( )fx在 2,4− 上的所有零点的和为（ ） A 6 B 8 C 6 D 8 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项 中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9. 2019 年女排世界杯是由国际排联（FIVB）举办的第13届世界杯赛事，比赛于 2019 年9月 14日至9月 29 日在日本举行，共有12支参赛队伍. 最终，中国女排以11战全胜且只丢3局 的成绩成功卫冕本届世界杯冠军. 中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代 的集体记忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号. 以下是本届世界杯比赛最终结 果的相关数据，记前6 名球队中，每个队的胜场数为变量 x ，积分为变量 y ，（只列出了前 6 名）. 排名 1 2 3 4 5 6 胜场数 x 11 10 8 7 6 6 积分 y 32 28 23 21 19 18 若 y 与 x 之间具有线性相关关系，根据表中数据可求得 y 关于 x 的回归直线方程为 2.59y x a=+，则下列说法正确的有（ ） A a 的值为 2.78 B a 的值为 2.1 C 若整队在此次比赛中获胜的场数是 4 ，根据线性回归方程其得分为13分（精确到整数） D 由线性回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加 2.59 分 10. 已知定义在 R 上的函数 ( )fx满足 ( ) ( )'f x f x− ，则下列式子成立的是（ ） A ( ) ( )2019 e 2020ff B ( ) ( )e 2019 2020ff C ( )fx是 R 上的增函数 D 若 0t  ，则有 ( ) ( )etf x f x t+ 11. 已知椭圆 ( ) 22 22: 1 0xyC a bab+ =   的左、右端点分别为 12,AA，点 ,PQ是椭圆C 上关 于原点对称的两点（异于左右端点），且 12 3 4PA PAkk = − ，则下列说法正确的有（ ） A 椭圆C 的离心率不确定 B 椭圆C 的离心率为 1 2 C 11A P A Qkk 的值受点 ,PQ的位置影响 D 12cos A PA 的最小值为 1 7− 12. 如图，已知 ,ab是相互垂直的两条异面直线，直线 AB 与 ,ab均相互垂直，且 2AB = ， b a α M A B P Q 3 动点 ,PQ分别位于直线 ,ab上，若直线 PQ 与 AB 所成的角 4  = ，线段 PQ 的中点为 M ， 下列说法正确的是（ ） A PQ 的长度为 22 B PQ 的长度不是定值 C 点 M 的轨迹是圆 D 三棱锥 A BPQ− 的体积为定值 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．） 13. 已知函数 ( ) e2xf x x=−，则函数 ( )fx在点 ( )( )0, 0f 处的切线方程为__________. 14. 已知点O 为圆锥 PO底面的圆心，圆锥 PO 的轴截面为边长为 2 的等边三角形 PAB ，则 圆锥 PO的外接球的表面积为__________. 15. 如图是一公路隧道截面图，下方 ABCD是矩形，且 4mAB = ， 8mBC = ，隧道顶 APD 是一圆弧，拱高 2mOP = ，隧道有两车道 EF 和 FG ，每车道宽3.5m ，车道两边留有0.5m 人行道 BE 和 GC ，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6m的间隙，则此隧道允许通 行车辆的限高是__________ m.（精确到0.01m， 51 7.141 ）. 16. 已知函数 ( ) ( )( ) 1 , 0 1 e , 0x ax x fx a x a x −=  − − −  有三个互不相同的零点 1 2 3,,x x x ，则 a 的 取值范围是_________； 1 2 3x x x 的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17. 给出一下两个条件：○1 数列 na 为等比数列，且 1 32n nnaa+ + =  ，○2 数列 na 的首 项 1 2a = ，且 1 2n nnaa+ −=. 从上面○1 ○2 两个条件中任选一个解答下面的问题（如果选择 多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）求数列 na 的通项公式； （2）设数列 nb 满足 2lognnba= ，求数列 1 1 nnbb+    的前 n 项和 nT . 18. 如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的角平分线， 5BD = ， 7AB = ， 120ADB=. （1）求 AD 的长； （2）求 ADC 的面积. 4 19. 某商场为回馈消费者，将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动. 为了增加抽奖的趣 味性，按如下的游戏形式进行抽奖. 如图，在数轴点O 处有一个棋子，顾客有两次游戏机会， 在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9时，棋子向前（右）进 一位；若两粒骰子的点数之和小于5时，棋子向后（左）走一位；若两粒骰子点数之和为5 到9时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为 X ，若 2X = ，则该顾客获得 价值100元的一等奖；若 1X = ，则该顾客获得价值10元的二等奖；若 0X = ，则该顾客 不得奖. （1）求一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率； （2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望. 20. 如图，四边形 PBCA为直角梯形， PB PA⊥ ， //PA BC ， AB AC⊥ ， 3PAB ABC  =  = ，点 D 为 BC 上一点，且 3BD CD= ，如图，将 PBA 绕 AB 边翻折 形成三棱锥 P ABC− . （1）证明：在三棱锥 P ABC− 中， AB PD⊥ ； （2）求三棱锥 P ABC− 体积的最大值，并求此时 PC 与面 ABC 所成角的正弦值. 21. 已知点 ( )1,0F ，点 P 到点 F 的距离比点 P 到 y 轴的距离多1，且点 P 的横坐标非负， 点 ( )( )1, 0M m m  . （1）求点 P 的轨迹C 的方程； （2）过点 M 作C 的两条切线，切点为 ,AB，设 AB 的中点为 N ，求直线 MN 的斜率. 22. 已知函数 ( ) 21ln 12f x x ax= − + . （1）讨论函数 ( )fx的单调性； （2）当 1a = 时，设函数 ( )fx的两个零点为 12,xx，试证明： 122xx+.