2017-2018学年广东省湛江第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年广东省湛江第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 广东省湛江第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“对任意的”的否定是（ ）‎ A． 不存在 B． 存在 C． 存在 D． 对任意的 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，sinx≤1”的否定是：存在x∈R，sinx＞1． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎2．已知复数z满足（z-1）i=i+1，复平面内表示复数z的点位于（ ）‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ ‎， ‎ 则复平面内表示复数的点的坐标为，位于第四象限，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的基本运算与几何性质，属于中档题.复数的概念要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3．函数在处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是的极值点，则( )‎ A． 是的充分必要条件 B． 是的充分条件，但不是的必要条件 C． 是的必要条件，但不是 的充分条件 D． 既不是的充分条件，也不是的必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为0的关系.‎ ‎【详解】‎ 根据函数极值的定义可知， 为函数的极值点，‎ 一定成立，但当时，函数不一定取得极值，‎ 比如函数，函数导数，‎ 当时，，但函数单调递增，没有极值，‎ 所以是的必要不充分条件，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过充分条件与必要条件主要考查函数的极值，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎4．有下列命题：‎ ‎①若，则；②若，则 ‎；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有（ ）‎ A．0个 B．1个 ‎ C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：①是假命题，因为时，不成立，故错误；②正确，因为根据不等式的性质可得若，则；③是假命题，因为除正方形外，矩形的对角线不互相垂直，真命题共有一个，故选B.‎ 考点：命题真假的判断.‎ ‎5．设复数z=为纯虚数，其中为实数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得值.‎ ‎【详解】‎ 为纯虚数，‎ ‎，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎6．双曲线的渐近线方程和离心率分别是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 离心率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于简单题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ ‎7．若函数的单调递增区间是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，然后求函数的导数，令导函数大于0求出的范围与定义域求交集即可.‎ ‎【详解】‎ 定义域是，‎ ‎，‎ 当时，或（舍），‎ 函数的单调递增区间是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，由求得的范围，可得函数的减区间.‎ ‎8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程 中的 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )．‎ A． 63.6万元 B． 65.5万元 C． 67.7万元 D． 72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ 回归方程̂y＝̂bx+̂a中的̂b为9．4，‎ ‎∴42=9．4×3．5+a，‎ ‎∴=9．1，‎ ‎∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5‎ 考点：线性回归方程 ‎9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )‎ A． 乙可以知道两人的成绩 B． 丁可能知道两人的成绩 C． 乙、丁可以知道自己的成绩 D． 乙、丁可以知道对方的成绩 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）‎ 乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩 丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩 故选 ‎10．已知函数在内有极小值，则b的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对原函数求导，由二次函数的性质，根据零点存在定理可得，解不等式组求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数的导数为，‎ 因为函数在内有极小值，‎ 所以在内有零点，‎ 则，即，且，‎ ‎，‎ 实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 判断函数有零点 (方程有根)的三种方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间 上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.‎ ‎11．设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明位于短轴的端点时取最大值，由要使椭圆上存在点满足,分类讨论，当椭圆的焦点在轴上，当椭圆的焦点在轴上时，分别求得的取值范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的方程为，‎ 设，‎ 则，‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ ‎，当最大时，即时，取最大值，‎ 位于短轴的端点时，取最大值，‎ 要使椭圆上存在点满足，，‎ 当椭圆的焦点在轴上，则时，‎ ‎,‎ 解得，‎ 当椭圆的焦点在轴上时，，‎ 当位于短轴的端点时，取最大值，‎ 要使椭圆上存在点满足，，‎ ‎，解得，‎ 的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程与简单性质、两角和的正切公式，属于难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系，同时，若椭圆方程中含有参数，一定要注意讨论其焦点位置.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）个．‎ A． 40 B． 36 C． 44 D． 52‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据图1-3可判断从第二个图开始，图中圆点 的个数比上一个图多4个，即成等差数列，首项为4，公差为4，所以，故填：40.‎ ‎13．设，其中是实数，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数相等列方程组求出的值，结合复数的模长公式进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 即，解得，‎ 即，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的模及复数相等的性质．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎14．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的=_______．‎ ‎【答案】 7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的值.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知：， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，则，因此输出的为，故答案为7.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎15．已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是____________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虛半轴的长，进而可得双曲线的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意设双曲线方程为，离心率为，‎ 椭圆长轴的端点是，‎ 椭圆的离心率为，‎ 双曲线的离心率,‎ ‎ ,‎ 则双曲线的方程是，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆、双曲线的方程与简单性质，属于中档题.求解与圆锥曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴（长轴）、虚轴（短轴）、渐近线等圆锥曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎16．已知曲线在点 处的切线与曲线 相切，则a =__________．‎ ‎【答案】 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一个公共点，进而可联立切线与曲线方程，根据，得到的值.‎ ‎【详解】‎ 的导数为，‎ 曲线在处的切线斜率为，‎ 则曲线在处的切线方程为，‎ 即，‎ 由于切线与曲线相切，‎ 可联立，‎ 得，‎ 又，两线相切有一切点，‎ 所以有，‎ 解得，故答案为8.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知关于的方程有两个不等的负根；关于的方程无实根，若为真，为假，求的取值范围.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若方程有两个不等的负根，则，‎ 解得，即p:.‎ 若方程无实根，则，解得，‎ 即q：.‎ 因为真，为假，所以p、q两命题中应一真一假，即p为真，q为假或q为真，p为假 ‎ 或， 解得或 所以的取值范围是或.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断或命题、且命题的真假，考查一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18．第一次大考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．‎ ‎（I）请完成列联表 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎110‎ ‎(Ⅱ)根据列联表的数据能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为成绩与班级有关系？‎ 参考公式和临界值表 ‎，其中．‎ ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎1．323‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为成绩与班级有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格中数据可填写列联表；（2）由列联表中数据，利用公式计算观测值，对照临界值可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）根据题意，甲、乙两个文科班第一次大考数学成绩优秀人数（人），‎ 由此列联表如下所示 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎ (Ⅱ)由列联表的数据，得到 ‎，‎ 因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为成绩与班级有关．‎ ‎【点睛】‎ 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎19．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ y（微克） ‎ ‎ x（千克） ‎ ‎ ‎ ‎3‎ ‎38‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎374‎ ‎－121‎ ‎－751‎ 其中 ‎（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎(Ⅱ)若用解析式作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求出与的回归方程．(c，d精确到0.1)‎ ‎(Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据)‎ 附：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）；（3）需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据散点图判断适宜作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程类型；（II）令，先建立关于的线性回归方程，平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式，，可得关于的回归方程，再代换成关于的回归方程可得结果；（III）解关于的不等式，求出范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）根据散点图判断适宜作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程类型；‎ ‎（Ⅱ）令，先建立y关于w的线性回归方程，‎ 由于，∴． ‎ ‎∴y关于w的线性回归方程为，‎ ‎∴y关于x的回归方程为． ‎ ‎ (Ⅲ)当时， ，‎ ‎∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.‎ ‎20．若函数f(x)＝ax2＋bx－ln x的导函数的零点分别为1和2．‎ ‎（I） 求a ， b的值；‎ ‎（Ⅱ）若当时，恒成立， 求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）求出函数的导数，由，求出的值即可；（Ⅱ）当时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，从而求出的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（I） 函数的定义域是，‎ ‎∵函数的零点分别为1和2，‎ ‎∴， 得， b = 2，‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，当且仅当，‎ 由（I）得，．‎ ‎．‎ 由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2． ‎ ‎①当f′(x)＞0时1＜x＜2；‎ ‎②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2． ‎ 当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 因此，f(x)的区间的最小值是和的较小者，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴f（x）的区间的最小值是，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.‎ ‎21．设A、B为抛物线C：上两点，A与B的中点的横坐标为2，直线AB的斜率为1．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线 交x轴于点M，交抛物线C：‎ 于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设 ，直线的斜率为1，又因为都在曲线上 ， ,结合利用点差法可得p = 2，从而可得结果；（Ⅱ）求得点的坐标分别为，，， 从而可得直线的方程为，联立方程解得点的坐标为，可得直线的方程为，联立方程，整理得，由，可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设 ，AB 直线的斜率为1，又因为A，B都在曲线C上，‎ 所以 ① ②‎ ‚-得,‎ 由已知条件得，得p = 2，所以抛物线C的方程是． ‎ ‎（Ⅱ）由题意，可知点的坐标分别为，，， ‎ 从而可得直线的方程为，联立方程，‎ 解得． 依题意，点的坐标为，由于，，可得直线的方程为，‎ 联立方程，整理得，‎ 则，从而可知和只有一个公共点．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与与抛物线的位置关系以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （为参数）．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点 是圆C上的动点，求 的最大值．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)直接利用平方法消去参数，可把参数方程化为普通方程，利用与可将直角坐标方程和极坐标方程进行转换；(II) （Ⅱ）因点是圆C上的动点，所以可得，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）将圆C的参数方程为（为参数）化为普通方程得，‎ 由可得，圆C的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）因点是圆C上的动点，所以 ‎，所以的最大值是.‎ ‎【点睛】‎ 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，‎ 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎