2019-2020学年广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高二上学期第一次月考数学试题 解析版

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绝密★启用前 广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题 考试范围：解三角形，数列；考试时间：120分钟；‎ 题号 一 二 三 总分 得分 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（　　）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ 2. 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（　　）.‎ A. B. C. 或 D. ‎ 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC的面积S等于（　　）‎ A. 10 B. C. 20 D. ‎ 4. 正项等比数列{an}中，a3=2，a4•a6=64，则的值是（　　）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 64‎ 5. 已知等差数列{an}中，a1+a3+a9＝20，则‎4a5-a7＝（    ）‎ A. 20 B. ‎30 ‎C. 40 D. 50‎ 1. 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，SABC=3，则cosA=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. ‎《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．‎ A. B. C. D. ‎ 4. 等比数列{an}的各项均为正数，且a‎5a6+a‎4a7＝18，则log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10＝（）‎ A. 12 B. ‎10 ‎C. 8 D. ‎ 5. 在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A、B、C成等差数列，‎3a、3b、‎3c成等比数列，则cosAcosB= ( )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 在△ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin‎2A=sinBsinC，则△ABC的形状为（　　）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 定义为n个正数a1，a2，…an的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 8. 在△ABC中，，则此三角形的最大边长为______．‎ 9. 在数列{an}中，若a1，a2 - a1，a3 - a2，…，an - an－1，…是首项为 1，公比为的等比数列，则a5=__________．‎ 1. 三角形中，角所对边分别为，已知，且，则三角形外接圆面积为________.‎ 2. 数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余题目每题12分，共70.0分）‎ 3. 设等差数列满足． （1）求数列的通项公式； ​（2）求数列的前项和的最大值．（10分） ‎ 4. 已知正项等比数列{an}满足a3=9，a4-a2=24． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=n•an，求数列{bn}的前n项的和Sn． ‎ 5. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，△ABC的面积为． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求cos（B-C）的值． ‎ 1. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b +acosC =0，sinA =2sin（A+C）． （1）求角C的大小； （2）求的值． ‎ 2. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. （Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）若a=c=2,求△ABC的面积； （Ⅲ）求sinA + sinC的取值范围. ‎ 3. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=1-（n∈N*）． （1）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式； （2）设cn=，求数列{cncn+1}的前n项和Tn． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】​‎ ‎【分析】 ​本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值． 【解答】 解：∵a=，c=2，cosA=， ∴由余弦定理可得： cosA===， ​整理可得：3b2-8b-3=0， ∴解得b=3或-（舍去）． 故选D．‎ ‎ 2.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．‎ 由已知及正弦定理可求sinB==，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值． 【解答】‎ 解：∵a=3，，， ∴由正弦定理可得：sinB===， ∵a＞b， ∴B为锐角，B=． 故选A． ‎ ‎3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC是解题的关键，属于基础题． ​利用余弦定理求得cosC，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC，代入△ABC的面积公式进行运算即可． 【解答】‎ 解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=5，c=8， 由余弦定理可得64=49+25-2×7×5cosC， ∴cosC=， ∴sinC=， ∴S△ABC===10． 故选B．‎ ‎ 4.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 设正项等比数列{an}的公比为q，由a3=2，a4a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出． 【解答】 解：设正项等比数列{an}的公比为q， ∵a3=2，a4a6=64， ∴，， ∴解得q2=4， ∴． ​故选C．‎ ‎ 5.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 利用等差数列通项公式列出方程，利用整体变量替换计算得结论． ​‎ 本题考查等差数列的通项公式，是基础题． 【解答】 解：∵等差数列{an}中，a1+a3+a9=20， ∴a1+a1+2d+a1+8d=‎3a1+10d=20， ‎4a5-a7=4（a1+4d）-（a1+6d）=‎3a1+10d=20． 故选A. 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0） 由余弦定理可得，= 故选：D． 由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案． 本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 由已知利用三角形面积公式可求sinA的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值． 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【解答】 ​解：因为：AB=3，AC=4，SABC=3， 可得：SABC=AB•AC•sinA=6sinA=3， 故sinA=，且A是锐角， 故cosA==， 故选：A． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：依题意，每天织布的数量成等差数列. 设此等差数列的公差为d， 则30×5+d=390‎ ‎， 解得d=​， 故选：D． 利用等差数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．先根据等比中项的性质可知a‎5a6=a‎4a7，进而根据a‎5a6+a‎4a7=18，求得a‎5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10=log3（a‎5a6）5答案可得． 【解答】‎ 解：由等比数列的性质可得a‎5a6=a‎4a7， ∴a‎5a6+a‎4a7=‎2a5a6=18， ∴a‎5a6=9， ∴log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10 ​=log3（a‎5a6）5=5log39=10. 故选B． ​ ‎ ‎ 10.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，根据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2-ac=ac，整理求得a=c，即得A=C，最后利用三角形内角和定理求出A和C，最后求出式子的值． 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形的内角和定理，以及余弦定理的应用，三角形问题与数列的综合题，是考试中常涉及的问题。 【解答】 解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）  ∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π（2）．  由（1）（2）得B=．  由‎3a，3b，‎3c成等比数列，得b2=ac， 由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB  把B=、b2=ac代入得，a2+c2-ac=ac，  即（a-c）2=0，则a=c，从而A=C=B=，  ​∴cosAcosB==， ‎ 故选B． ‎ ‎ 11.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 由三角形的三边成等差数列，根据等差数列的性质得到b+c=‎2a，记作①，利用正弦定理化简sin‎2A=sinBsinC得到关于a，b及c的关系式，记作②，联立①②消去a得到关于b与c的关系式，变形可得出b=c，从而得到a，b及c都相等，故三角形为等边三角形． 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有等差数列的性质，正弦定理以及等边三角形的判定，灵活运用等差及等比数列的性质及正弦定理得出关于三角形三边的两关系式是解本题的关键． 【解答】 ​解：∵△ABC的三边b，a，c成等差数列， ∴b+c=‎2a①， 又sin‎2A=sinBsinC， 根据正弦定理化简得：a2=bc②， 由①得：a=，代入②得： =bc，即（b-c）2=0， ∴b=c，故a=b=c， 则三角形为等边三角形． 故选：C． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设Sn=a1+a2+…+an，由题意可得：=，可得Sn=2n2+n．利用递推关系可得an​，从而可得，利用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】 解：设Sn=a1+a2+…+an， 由题意可得：=，可得Sn=2n2+n． ∴n=1时，a1=S1=3；n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-[2（n-1）2+（n-1）]=4n-1．n=1时也成立． ∴an=4n-1． ∴=n， ‎ ‎∴==． 则=+…+=1-=． 故选A． 13.【答案】5 ‎ ‎【解析】解：在△ABC中，，可得A=， 所以三角形的最大边长b：， 解得b=5． 故答案为：5． 求出A，利用正弦定理求解即可． 本题考查正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等比数列的前n项和公式，利用累加法转化为求和问题是解决本题的关键. 直接把数列a1，a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…的前n项求和即可得到答案. 【解答】 解：由题意可知，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） = ∴a5=. ​故答案为. 15.【答案】π ‎ ‎【解析】【分析】‎ 利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入求出cosA的值，根据A为三角形内角，可求sinA的值，再利用正弦定理即可求出外接圆半径，利用圆的面积公式即可计算得解． 此题考查了正弦、余弦定理，以及圆的面积公式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎【解答】‎ 解：∵b2+c2-a2=bc，且a=1， ∴cosA===， ∵A为三角形内角， ∴sinA=， ∴设三角形ABC外接圆半径为R，根据正弦定理得：==2R=2，即R=1， ∴三角形ABC外接圆面积S=πR2=π． 故答案为π．‎ ‎ 16.【答案】1 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案． 【解答】 解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列， 得：， 整理得：， 即+‎5a1+a1+4d． 化简得：（d+1）2=0，即d=-1． ∴q= =． 故答案为1． 17.【答案】解：（1）由an=a1+（n-1）d及，得：a1+8d=-5，a1+3d=5， 解得d=-2，a1=11，数列{an}的通项公式为an=13-2n. （2）由（1）知Sn=na1+d=12n-n2，因为Sn=-（n-6）2+36， 所以n=6时，Sn取得最大值36． ‎ ‎【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和，属于基础题. （1）由an=a1+（n-1）d及，得：a1+8d=-5，a1+3d=5，进而求得答案. （2）由（1）知Sn=na1+d=12n-n2，因为Sn=-（n-6）2+36，进而求得答案. ‎ ‎18.【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a4-a2=24， 得，即3q2-8q-3=0，解得q=3或． 又∵an＞0，则q＞0，∴q=3，∴． （Ⅱ），∴，…①， ①×3可得：，…②， ①-②可得：， ∴． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）设出公比，利用已知条件求出公比，然后求解数列{an}的通项公式； （Ⅱ）化简bn=n•an，利用错位相减法求解数列{bn}的前n项的和Sn． 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，考查计算能力． 19.【答案】解：（Ⅰ）∵，△ABC的面积为=absinC=×sin，解得：a=5， ∴由余弦定理可得：c===7， （Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB===， 又∵B∈（0，π），可得：sinB==， ∴cos（B-C）=cosBcos+sinBsin=×+=. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解． 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 20.【答案】解：（1）sinA =2sin（A+C）=2sin（π-B）=2sinB， 由正弦定理可知：===2R， ∴a=2b， 由cosC=-=-， 由0＜C＜π，则C=‎ ‎， （2）由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2+2b2=8b2，则c=2b， 则==， ∴的值为． ‎ ‎【解析】（1）由题意可知sinA=2sinB，根据正弦定理可知a=2b，则cosC=-=-，即可求得C； （2）利用余弦定理求得c=2b，即可求得的值． 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题． 21.【答案】解：（Ⅰ）∵b2=a2+c2-ac． ∴由余弦定理可得：cosB===， ∵B∈（0，π）， ∴B=； （Ⅱ）∵a=c=2，B=， ∴△ABC的面积S=acsinB==； （Ⅲ）由题意可得：sinA+sinC═sinA+sin（-A）=sinA+cosA =sin（A+）， ∵A∈（0，），A+∈（，）， ∴sin（A+）∈（，]． 故所求的取值范围是：（，]． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosB=，结合范围B∈（0，π），可求B=； （Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解． （Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得sinA+sinC=sin（A+），结合范围A+∈（，），利用正弦函数的有界性即可求解． 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 22.【答案】解：（1）证明：∵bn+1-bn=-=-=2， ∴数列{bn}是首项和公差均为2的等差数列． 因此bn=2+（n-1）×2=2n ‎， 由bn=得an=； （2）由cn=，an=得cn=， ∴cncn+1==4（-）， ∴Tn=4（1-+-+…+（-）=4（1-）=． ‎ ‎【解析】（1）由等差数列的定义，化简整理可得数列{bn}是首项和公差均为2的等差数列，由等差数列的通项公式可得所求通项； （2）求得cn=，an=得cn=，可得cncn+1==4（-），再议裂项相消求和，化简可得所求和． 本题考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题． ‎