2013年高考数学创新题型精选

2013年高考数学创新题型精选

2013 年高考数学创新题型精选 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy（x+y）， z∈A，y∈B｝，设集合 A=｛0，1｝， B=｛2，3｝， 则集合 A⊙B 的所有元素之和为 A．0 B．6 C．12 D．18 2．设 ○+是 R 上的一个运算, A 是 R 的非空子集,若对任意 ,a b A 有 a ○+b A ,则称 A 对运算○+封 闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆 22 221xy mn方程中的 m 和 n ，则 能组成落在矩形区域   , || | 11,| | 9B x y x y   内的椭圆的个数是 A．43 B．72 C．86 D．90 4． )(xf 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 0)2( f ，则方程 =0 在区间（0，6） 内解的个数的最小值是 A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 5．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正 方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 A．48 B．18 C．24 D．36 6．点 P 到点 A（ 2 1 ，0），B（ a ，2）及到直线 x＝－ 2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好 只有一个，那么 a 的值是 A． B． 2 3 C． 或 2 3 D．－ 或 7．如果二次方程 x2-px-q=0（p,q∈N*） 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 8．设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四 棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A．不存在 B．只有 1 个 C．恰有 4 个 D．有无数多个 9．计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的记数制，采用数字 0-9 和字母 A-F 共 16 个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则 AB A．6E B．72 C ．5F D．B0 10．设 P 是△ ABC 内任意一点，S△ ABC 表示△ ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S   ， λ2＝ ABC PCA S S   ，λ3＝ ABC PAB S S   ，定义 f（P）=（λ1, λ, λ3）,若 G 是△ ABC 的重心，f（Q）＝（ 2 1 ， 3 1 ， 6 1 ），则 A．点 Q 在△ GAB 内 B．点 Q 在△ GBC 内 C．点 Q 在△ GCA 内 D．点 Q 与点 G 重合 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角 两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性， 并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“  ”表示一种运算，即  Rbabababa 、， ．若 31 k ，则函数   xkxf  的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿． 13．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍）： 第 1 行 1 第 2 行 2 3 第 3 行 4 5 6 7 … … 则第 9 行中的第 4 个数是＿＿＿＿＿＿＿＿ A．132 B．255 C．259 D．260 14．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件 E 发生，该公司要赔偿 a 元．设在 一年内 E 发生的概率为 p，为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十，公司应要求顾客交保险 金为_________________ 15．设函数 f （x）的图象与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f（x）在[a， b]上的面积，已知函数 y＝s1nnx 在[0， n  ]上的面积为 n 2 （n∈N*），（ 1）y＝s1n3x 在[0, 3 2 ] 上的面积为 ；（ 2）y＝s1n（3x－π）＋1 在[ 3  ， 3 4 ]上的面积为 ． 16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图， 正方体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧， 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结 论的编号．．） 三、解答题（共 4 小题，10+12+12+12=46，共 46 分） 17．（本题满分 10 分） 设函数 )0π( )2sin()(  xxf 。y=f（x）图像的一条对称轴是直线 8 πx ． （1）求 ； （2）求函数 )(xfy  的单调增区间； （3）证明直线 025  cyx 于函数 的图像不相切． 18．（本题 12 分） 某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是 2 1 ．棋盘上标有第 0 站、 第 1 站、第 2 站、……、第 100 站．一枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前 跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到 第 99 站（胜利大本营）或第 100 站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第 n 站的概 率为 nP ． （1）求 P0，Pl，P2； （2）求证: )(2 1 211   nnnn PPPP （3）求玩该游戏获胜的概率． A B C D A1 B1 C1 D1 第 16 题图  A1 19．（本题 12 分） 如图，直线 l1： )0(  kkxy 与直线 l2： kxy  之间的阴影区域（不含边界）记为 W， 其左半部分记为 W1，右半部分记为 W2． （1）分别用不等式组表示 W1 和 W2； （2）若区域 W 中的动点 P（x，y）到 l1，l2 的距离之积等于 d2，求点 P 的轨迹 C 的方程； （3）设不过原点 O 的直线 l 与（2）中的曲线 C 相交于 M1，M2 两点，且与 l1，l2 分别交 于 M3，M4 两点．求证△ OM1M2 的重心与△ OM3M4 的重心重合． 20．（本题 12 分） 设 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量分别是i  、 j  ，坐标平面上点 nA 、 nB )( *Nn 分别满 足下列两个条件：① 1OA j 且 1nn AA ＝i ＋ j ；② iOB 31  且 1nn BB ＝ 2( ) 33 n i 。 （1）求 nOA 及 nOB 的坐标； （2）若四边形 11  nnnn ABBA 的面积是 na ，求 na 的表达式； （3）对于（2）中的 ，是否存在最小的自然数 M，对一切 都有 ＜M 成立？ 若存在，求 M；若不存在，说明理由． 参考答案 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．D 提示：当 x＝0 时，z＝0，当 x＝1，y＝2 时，z＝6，当 x＝1，y＝3 时，z＝12，故 所有元素之和为 18，选 D 2．C 提示： A 中 1－2＝－1 不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中 1  2＝0．5 不是 整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 中 2 2 2不是无理数，即无理 数集不满足条件，故选择答案 C。 3．B 提示：根据题意，m 是不大于 10 的正整数、n 是不大于 8 的正整数。但是当 mn 时 22 221xy mn是圆而不是椭圆。先确定 ， 有 8 种可能，对每一个确定的 ， 有10 1 9 种可能。故满足条件的椭圆有8 9 72 个。选 B 4．D 提示：由题意至少可得 f（0）=f（2）=f（-2）=f（3）=f（-3）=f（-5）=f（5）=f（1） =f（4）=0,即在区间（0，6）内 f（x）=0 的解的个数的最小值是 5,选（D） 5．D 提示：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成 24 个“正交线面对”； 而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正交线面 对”，所以共有 36 个“正交线面对”；选 D。 6．D 提示：（思路一）点 P 在抛物线 y2=2x 上，设 P（ 2 2y ,y）,则有（ + 2 1 ）2=（ － a ）2+（y－2）2,化简得（ 2 1 － ）y2－4y+ 2+ 4 15 =0, 当 = 时, 符合题意；当 a≠ 时， ∆=0,有 3a － 2 2a + 4 15a + 8 17 =0,（ + ）（ 2－ + 4 17 ）=0, =－ 。选 D． （思路二） 由题意有点 P 在抛物线 y2=2x 上，B 在直线 y=2 上,当 a=－ 时,B 为直线 y=2 与准线的交点，符合题意；当 a= 时，B 为直线 y=2 与抛物线通径的交点，也符合题意，故 选 D．答案：D 7．C 提示：由 △ =p2+4q>0,-q<0, 知方程的根为一正一负．设 f（x）=x2-px-q，则 f（3） =32-3p-q>0, 即 3p+q<9．由于 p,q∈N*，所以 p=1,q≤5 或 p=2,q≤2．于是共有 7 组（p,q）符合 题意．故选 C． 8．D 提示：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这 样的平面 α 有无数多个．故选 D． 答案：D 9．A 提示：∵A=10,B=11,又 A×B=10×11=110=16×6+14,∴在 16 进制中 A×B=6E,∴选（A） 10．A 提示：由题 f（p）= ).,,( 321  若 G 为 )3 1,3 1,3 1()(  Gf，ABC 则的重心 ． 而 )6 1,3 1,2 1()( Qf 与之比较知。 中在 GABQ  。故选 A。 二、填空题 11．（下列答案中任一即可，答案不唯一） （1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角 的两个面的的距离之比为定值。 （2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二 面角的两个面的的距离之比为定值。 （3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。 （4）在空间，射线OD上任意一点 P 到射线OA、OB 、OC 的距离之比不变。 （5）在空间，射线 上任意一点 到平面 AOB 、 BOC 、COA的距离之比不变。 12 ．  ,1 提示： 由 31 k 得 311  kk ， 解 得 k=1 ， 所 以 f （ x ） = )0(1  xxx ，f（x）在（0，＋ ∞）内是增函数，故 f（x）＞ 1，即 f（x）的值域为 13．259 提示：第 1 行第 1 个数为 1＝ 02 ，第 2 行第 1 个数为 2＝ 12 ，第 3 行第 1 个数为 4＝ 22 ，…，第 9 行第 1 个数为 192  ＝256，所以第 9 行第 4 个数为 256＋3＝259。 14．（ 0．1+p）a 提示：设保险公司要求顾客交 x 元保险金，若以表示公司每年的收益额， 则是一个随机变量，其分布列为：  x x－a P 1－p p 因此，公司每年收益的期望值为 E=x（1－p）+（x－a）·p=x－ap． 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十， 只需 E=0．1a，即 x－ap=0．1a， 故可得 x=（0．1+p）a． 即顾客交的保险金为（0．1+p）a 时，可使公司期望获益 10%a． 15 ． 3 2,3 4  提示：由 题 意 得 ： y=s1n3x 在 ]3 20[ ， 上的面积为 3 423 2  ， 1)3sin(  xy 在 ]3 4 3[  ， 上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为 3 2 。 16．①③④⑤ 提示：如图，B、D、A1 到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A1 的中点 A γ β α O P B 到平面 的距离为 3，所以 D1 到平面 的距离为 6；B、A1 的中点到平面 的距离为 5 2 ，所 以 B1 到平面 的距离为 5；则 D、B 的中点到平面 的距离为 3 2 ，所以 C 到平面 的距离为 3；C、A1 的中点到平面 的距离为 7 2 ，所以 C1 到平面 的距离为 7；而 P 为 C、C1、B1、 D1 中的一点，所以选①③④⑤。 三、解答题 17．（1）∵ 8 x 是函数 y=f（x）的图象的对称轴， ∴ 1)82sin(   ，∴ Zkk  ,24  ， ∵ 0  ，∴ 4 3  。 （2）由（1）知 ，因此 )4 32sin(  xy 。 由题意得 Zkkxk  ,224 3222  ， 所以函数 的单调增区间为 Zkkk  ],8 5,8[  。 （3）证明：∵｜ /y ｜=|（ /))4 32sin( x |=| )4 32cos(2 x |≤2 所以曲线 y=f（x）的切线的斜率取值范围是[-2,2]， 而直线 5x-2y+c＝0 的斜率为 2 5 ＞2， 所以直线 5x-2y+c＝0 与函数 的图象不相切。 18．（ 1）依题意，得 P0=1，P1= 2 1 ， 2 1 2 1 2 1 2 P ． （2）依题意，棋子跳到第 n 站（2≤n≤99）有两种可能： 第一种，棋子先到第 n-2 站，又掷出反面，其概率为 22 1 nP ； 第二种，棋子先到第 n-1 站，又掷出正面，其概率为 12 1 nP ∴ 21 2 1 2 1   nnn PPP ∴ 211211 2 1 2 1 2 1 2 1   nnnnnnn PPPPPPP 即 )992)(2 1 2 1( 211   nPPPP nnnn （3）由（2）可知数列{ 1 nn PP }（1≤n≤99）是首项为 2 1 01  PP 公比为 2 1 的等比数 列，于是有 )()()()( 9899231201099 PPPPPPPPPP   = ])2 1(1[3 2)2 1()3 1()2 1()2 1(1 1009932   因此，玩该游戏获胜的概率为 ])2 1(1[3 2 100 ． 19．（1） 12{( , ) | , 0}, {( , ) | , 0}.W x y kx y kx x W x y kx y kx x          （2）直线 1 : 0,l kx y 直线 2 :0l kx y,由题意得 2 22 | | | |., 11 kx y kx y d kk   即 2 2 2 2 2 ||.1 k x y dk   由 ( , ) ,P x y W 知 2 2 2 0,k x y所以 2 2 2 2 2 ,1 k x y dk   即 2 2 2 2 2( 1) 0.k x y k d    所以动点 P 的轨迹方程为 2 2 2 2 2( 1) 0.k x y k d    （3）当直线l 与 x 轴垂直时,可设直线 的方程为 ( 0).x a a 由于直线 、曲线 C 关于 轴对称,且 1l 与 2l 关于 轴对称, 于是 1 2 3 4,M M M M 的中点坐标都为( ,0)a , 所以 1 2 3 4,OM M OM M的重心坐标都为 2( ,0)3 a ,即它们的重心重合． 当直线l 与 轴不垂直时,设直线 的方程为 ( 0).y mx n n   由 2 2 2 2 2( 1) 0k x y k d y mx n        ,得 2 2 2 2 2 2( ) 2 0.k m x mnx n k d     由直线 与曲线 C 有两个不同交点,可知 220km,且 2 2 2 2 2 2 2(2 ) 4( ) ( ) 0.mn k m n k d d       设 12,MM的坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , ).x y x y 则 1 2 1 2 1 222 2 , ( ) 2 .mnx x y y m x x nkm      设 34,MM的坐标分别为 3 3 4 4( , ),( , ).x y x y 由 34,,y kx y kx nnxxy mx n y mx n k m k m         及 得 从而 3 4 1 222 2 .mnx x x xkm    所以 3 4 3 4 1 2 1 2( ) 2 ( ) 2 ,y y m x x n m x x n y y         所以 3 4 3 41 2 1 20000,.3 3 3 3 x x y yx x y y       于是 12OM M 的重心与 34OM M 的重心也重合． 20．（1） 1 1 2 1n n nOA OA A A A A    ( 1)( ) ( 1) ( 1, )j n i j n i nj n n         1 1 2 1n n nOB OB B B B B    1 2 12 2 23 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 33 3 3 ni i i i        21 ( ) 23 3 9 9 ( ) ,02 31 3 n ni       ． （2） 11 11 2 1 2[10 9 ( ) ] ( 1) [10 9 ( ) ]2 3 2 3n n n n nn n PA B PA Ba S S n n           △ △ 125 ( 2) ( )3 nn     ， （3） 1 1 22[5 3( 2) ( ) ] [5 3( 1) ( ) ]33 nn nna a n n          112 2 23 ( ) [( 2) ( 1) ( )] ( 4) ( )3 3 3 nnn n n         ∴ 120aa， 230aa， 340aa， 450aa， 560aa， 670aa， 等 即在数列{}na 中， 45 85 9aa   是数列的最大项， 所以存在最小的自然数 6M  ，对一切 )( *Nn 都有 na ＜M 成立．