2017-2018学年四川省石室中学高二上学期半期考试数学（文）试题

2017-2018学年四川省石室中学高二上学期半期考试数学（文）试题

成都石室中学高二 2017—2018 学年度上期半期考试 数学试题（文科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若抛物线的准线方程为 ，焦点坐标为 ，则抛物线的方程是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数 的图象上一点 及邻近点 ，则 （ ） A．2 B． C． D． 3.命题“ ， ”的否定是（ ） A． ， B． ， C． ， D．不存在 ， 4.已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，若 的面积的 最大值为 12，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 5.与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 6.已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，且 ， ， ，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 7.设椭圆的两个焦点分别为 ， ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为 1x = ( 1,0)− 2 2y x= 2 2y x= − 2 4y x= 2 4y x= − 2 1y x= + (1,2) (1 ,2 )x y+ ∆ + ∆ 0 lim x y x∆ → ∆ =∆ 2x 2 x+ ∆ 22 x+ ∆ 0x R∃ ∈ 3 2 1 0x x− + > x R∀ ∈ 3 2 1 0x x− + ≤ 0x R∃ ∈ 3 2 1 0x x− + < 0x R∃ ∈ 3 2 1 0x x− + ≤ x R∈ 3 2 1 0x x− + > 1( 3,0)F − 2 (3,0)F P 1 2PF F∆ 2 2 116 7 x y+ = 2 2 125 9 x y+ = 2 2 125 16 x y+ = 2 2 116 9 x y+ = 2 2 19 16 x y− = ( 3,2 3)− 2 24 14 9 x y− = 2 24 14 9 y x− = 2 24 19 4 y x− = 2 24 19 4 x y− = P ABC− PA PB PC 5AB = 7BC = 2AC = 8 3 π 8 2 3 π 16 3 π 32 3 π 1F 2F 2F P 1 2F PF∆ 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 8.“ ”是“对任意的正数 ， ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条 件 9.如图是一几何体的平面展开图，其中 为正方形， ， 分别为 ， 的中点， 在此几何体中，给出下面四个结论：①直线 与直线 异面；②直线 与直线 异 面；③直线 平面 ；④平面 平面 ． 其中一定正确的选项是（ ） A．①③ B．②③ C．②③④ D．①③④ 10.椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ， ， 是两曲线的一个交点， 那么 的值是（ ） A． B． C． D． 11.设 为双曲线 ： ( , )的右焦点，过坐标原点的直线依次与双 曲线 的左、右支交于点 ， ，若 ， ，则该双曲线的离心 率为（ ） A． B． C． D． 12.点 到点 ， 及到直线 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一 个，那么实数 的值是（ ） 2 2 2 1 2 − 2 2− 2 1− 1 8a = x 2 1ax x + ≥ ABCD E F PA PD BE CF BE AF / /EF PBC BCE ⊥ PAD 2 2 16 2 x y+ = 2 2 13 x y− = 1F 2F P 1 2cos F PF∠ 1 3 2 3 7 3 1 4 F C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > C P Q | | 2 | |PQ QF= 60PQF∠ = ° 3 1 3+ 2 3+ 4 2 3+ P 1( ,0)2A ( ,2)B a 1 2x = − a A． B． C． 或 D． 或 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知 ，则 ． 14.已知函数 在 处有极大值，则 ． 15.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图的 的值 ． 16.已知椭圆 ： 的右焦点为 ， 为直线 上一点，线段 交 于点 ，若 ，则 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， ． （1）求 的通项公式； （2）求和： ． 18.已知命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：方程 表示双曲线． （1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 − 1 2 4sin cos 3 α α− = sin 2α = 2( ) ( )f x x x c= − 1x = c = x C 2 2 12 x y+ = F A 2x = AF C B 3FA FB=  | |AF = { }na { }nb 1 1 1a b= = 2 4 10a a+ = 2 4 5b b a= { }na 1 3 5 2 1nb b b b −+ + + +… p m 2 25 4 0m am a− + < 0a > q 2 2 13 5 x y m m + =− − 1a = p q∧ m p¬ q¬ a 19.已知抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，又知此抛物线上一点 到焦点的距离为 6． （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线 相交于不同的两点 、 ，且 中点横坐标为 2， 求 的值． 20.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面 底面 ， ， ， ， 分别为 ， 的 中点，点 在线段 上． （1）求证： 平面 ； （2）如果三棱锥 的体积为 ，求点 到面 的距离． 21.已知函数 ． （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （2）求函数 的极值； （3）若函数 在区间 上是增函数，试确定 的取值范围． 22.已知圆 ： 和点 ， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线和 相交于点 ， 的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）点 是曲线 与 轴正半轴的交点，直线 交 于 、 两点，直线 ， 的斜率分别是 ， ，若 ，求：① 的值；② 面积的最大值． x (4, )m 2y kx= − A B AB k P ABCD− ABCD 135BCD∠ = ° PAB ⊥ ABCD 90BAP∠ = ° 2AB AC PA= = = E F BC AD M PD EF ⊥ PAC C EFM− 1 3 M PAB 2( ) ln ( )f x x a x a R= − ∈ 1a = ( )f x 1x = ( )f x ( )f x (2, )+∞ a M 2 2 2 2 10 0x y y+ + − = (0, 2)N Q M NQ QM P P E E A E x x ty m= + E B C AB AC 1k 2k 1 2 9k k⋅ = m ABC∆ 成都石室中学高 2019 届 2017—2018 学年度上期半期考试数学试题（文科）答 案 一、选择题 1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题 13. 14.3 15.3 16. 三、解答题 17.解：（1）等差数列 ， ， ，可得 ，解得 ， 所以 的通项公式为： ． （2）由（1）可得 ， 等比数列 满足 ， ，可得 或 （舍去）（等比数列奇数项符号相 同）． 所以 ， 是等比数列，公比为 3，首项为 1． ． 18.解：命题 ：由题得 ，又 ，解得 ； 命题 ： ，解得 ． （1）若 ，命题 为真时， ， 当 为真，则 真且 真， DAACD BCABA BD 7 9 − 2 { }na 1 1a = 2 4 10a a+ = 1 1 3 10d d+ + + = 2d = { }na 1 ( 1) 2 2 1na n n= + − × = − 5 1 4 9a a d= + = { }nb 1 1b = 2 4 9b b = 3 3b = 3− 2 3q = { }2 1nb − 2 1 3 5 2 1 2 1(1 ) 1 n n qb b b b q− −+ + + + = − 3 1 2 n −= p ( )( 4 ) 0m a m a− − < 0a > 4a m a< < q ( 3)( 5) 0m m− − < 3 5m< < 1a = p 1 4m< < p q∧ p q ∴ 解得 的取值范围是 ． （2） 是 的充分不必要条件，则 是 的充分必要条件， 设 ， ，则 ； ∴ ∴实数 的取值范围是 ． 19.解：（1）由题意设抛物线方程为 （ ），其准线方程为 ， ∵ 到焦点的距离等于 到其准线的距离，∴ ，∴ ， ∴此抛物线的方程为 ． （2）由 消去 得 ， ∵直线 与抛物线相交于不同两点 、 ，则有 解得 且 ， 由 ，解得 或 （舍去）． ∴所求 的值为 2． 20.证明：（1）在平行四边形 中，因为 ， ， 所以 ，由 ， 分别为 ， 的中点，得 ，所以 ． 侧面 底面 ，且 ， 底面 ． 又因为 底面 ，所以 ． 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． 解：（2） 到面 的距离为 1，所以 面 ， 为 中点， ． 21.解：（1）当 时， ， ， ，又 ，∴切线方程为 . （2）定义域为 ， ，当 时， 恒成立， 不存在极 1 4, 3 5, m m < <  < < m (3,4) p¬ q¬ q p ( ,4 )A a a= (3,5)B = B⊂≠ A 3, 4 5, a a ≤  > a 5 ,34      2 2y px= 0p ≠ 2 px = − (4, )A m A 4 62 p+ = 4p = 2 8y x= 2 8 , 2 y x y kx  =  = − y 2 2 (4 8) 4 0k x k x− + + = 2y kx= − A B 0, 0, k ≠ ∆ > 1k > − 0k ≠ 1 2 2 4 8 4kx x k ++ = = 2k = 1k = − k ABCD AB AC= 135BCD∠ = ° AB AC⊥ E F BC AD / /EF AB EF AC⊥ PAB ⊥ ABCD 90BAP∠ = ° PA ⊥ ABCD EF ⊂ ABCD PA EF⊥ PA AC A= PA ⊂ PAC AC ⊂ PAC EF ⊥ PAC M CEF MF ⊥ ABCD M PD 1d = 1a = 2( ) lnf x x x= − 1'( ) 2f x x x = − '(1) 1f = (1) 1f = y x= (0, )+∞ '( ) 2 af x x x = − 0a ≤ '( ) 0f x > ( )f x 值． 当 时，令 ，得 ，当 时， ；当 时， ， 所以当 时， 有极小值 无极大值． （3）∵ 在 上递增，∴ 对 恒成立，即 恒成立， ∴ ． 22.解：（1）圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，点 在圆 内， ， 所以曲线 是 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆， 由 ， ，得 ，所以曲线 的方程为 ． （2）①设 ， ，直线 ： ，联立方程组 得 ， 由 ，解得 ， ， ， 由 知 ， 且 ，代入化简得 ，解得 ， ② （当且仅当 时取等号）． 0a > '( ) 0f x = 2 2 ax = 2 2 ax > '( ) 0f x > 2 2 ax < '( ) 0f x < 2 2 ax = ( )f x ln2 2 2 a a a− ( )f x (2, )+∞ '( ) 2 0af x x x = − ≥ (2, )x∈ +∞ 22a x≤ 8a ≤ M 2 2 2 2 10 0x y y+ + − = (0, 2)M − 2 3 N (0, 2) M | | | | 2 3 | |PM PN MN+ = > E M N 2 3 3a = 2c = 2 3 2 1b = − = E 2 2 13 yx + = 1 1( , )B x y 2 2( , )C x y BC x ty m= + 2 2 , 1,3 x ty m yx = + + = 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0t y mty m+ + + − = 0∆ > 2 1t > 1 2 2 6 1 3 mty y t + = − + 2 1 2 2 3 3 1 3 my y t −= + 1 2 9k k = 1 2 1 2 1 29( 1)( 1) 9( 1)( 1)y y x x ty m ty m= − − = + − + − 2 2 1 2 1 29 9( 1) ( ) 9( 1)t y y m t y y m= + − + + − 1m ≠ 2 2 2(9 1)( 1) 18 3( 1)(1 3 ) 0t m mt m t− + − + − + = 2m = 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 3 1| |2 1 3 4 3( 1)ABC t tS y y t t ∆ − −= − = =+ + − 2 2 3 3 4 43 1 1 t t = ≤ + − − 2 7 3t = 综上， 面积的最大值为 .ABC∆ 3 4