人教a版高中数学选修1-1课时提升作业二十四3-3-3函数的最大（小）值与导数精讲优练课型word版含答案
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课时提升作业 二十四
函数的最大(小)值与导数
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2016·临沂高二检测)函数 y=2x3-3x2-12x+5 在上的最大值和最小值分别是 ( )
A.5,-15 B.5,4
C.-4,-15 D.5,-16
【解析】选 A.y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),
令 y′=0,得 x=2 或 x=-1(舍).
因为 f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,
所以 ymax=5,ymin=-15.
【补偿训练】函数 y= 在区间 上的最小值为 ( )
A.2 B. e2 C. D.e
【解析】选 D.y′= ,令 y′=0,得 x=1,
故 f(x)min=f(1)=e.
2.(2016·德州高二检测)已知函数 f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且 f′(x)
x- .
令 f(x)=x- ,所以 f′(x)=1+2-xln2>0.
所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以 f(x)>f(0)=0-1=-1,
所以 a 的取值范围为(-1,+∞).
4.(2016·安庆高二检测)已知函数 f(x)=- x3+2ax2+3x(a>0)的导数 f′(x)的最大值为 5,则
在函数 f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是 ( )
A.3x-15y+4=0 B.15x-3y-2=0
C.15x-3y+2=0 D.3x-y+1=0
【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出 a 值,再求切线方程.
【解析】选 B.因为 f(x)=- x3+2ax2+3x,
所以 f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,
因为导数 f′(x)的最大值为 5,
所以 2a2+3=5,因为 a>0,所以 a=1,
所以 f′(1)=5,f(1)= ,
所以在函数 f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是 y- =5(x-1),即 15x-3y-2=0.
5.(2016·潍坊高二检测)已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在上有最大值 3,那么此函数在上的
最小值是 ( )
A.-37 B.-29
C.-5 D.以上都不对
【解题指南】先根据最大值求出 m,再求出 f(x)在上的最小值.
【解析】选 A.因为 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
因为 f(x)在上为增函数,
在上为减函数,
所以当 x=0 时,f(x)=m 最大.
所以 m=3,从而 f(-2)=-37,f(2)=-5.
所以最小值为-37.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.当 x∈时,函数 f(x)= 的值域为 .
【解析】f′(x)= = ,
令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2(舍去)
当 x∈时,f′(x)>0,
所以当 x=0 时,f(x)取极小值 f(0)=0,也是最小值;
而 f(-1)=e,f(1)= ,
所以 f(x)的最大值为 f(-1)=e.
所以 f(x)的值域为.
答案:
7.(2016·洛阳高二检测)函数 f(x)= (x∈)的最大值是 ,最小值是 .
【解析】因为 f′(x)= = ,
令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1.
又因为 f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)= ,f(-2)=- ,
所以 f(x)在上的最大值为 2,最小值为-2.
答案:2 -2
8.若函数 f(x)= (a>0)在时,求函数 f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)f′(x)=ex(sinx+cosx)
= exsin .
f′(x)≥0,所以 sin ≥0,
所以 2kπ≤x+ ≤2kπ+π,k∈Z,
即 2kπ- ≤x≤2kπ+ π,k∈Z.
f(x)的单调增区间为 ,k∈Z.
(2)由(1)知当 x∈时,
是单调增区间, 是单调减区间.
f(0)=0,f(π)=0,f = ,
所以 f(x)max=f = ,
f(x)min=f(0)=f(π)=0.
10.(2015·全国卷Ⅱ)已知 f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论 f(x)的单调性.
(2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -a.
若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若 a>0,则当 x∈ 时,f′(x)>0;
x∈ 时,f′(x)<0,
所以 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当 a>0 时,f(x)在 x= 处取得最大值,最大值为 f =ln +a =-lna+a-1.
因此 f >2a-2 等价于 lna+a-1<0,
令 g(a)=lna+a-1,
则 g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当 01 时,g(a)>0.
因此,a 的取值范围是(0,1).
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·长沙高二检测)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当
|MN|达到最小值时 t 的值为 ( )
A.1 B. C. D.
【解析】选 D.|MN|的最小值,即函数 h(x)=x2-lnx 的最小值,h′(x)=2x- = ,显然 x=
是函数 h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故 t= .
【补偿训练】函数 f(x)= ex(sinx+cosx),x∈的值域为 .
【解析】当 0≤x≤1 时,f′(x)= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx)=excosx>0,所以 f(x)在上
单调递增,则 f(0)≤f(x)≤f(1),即函数 f(x)的值域为 .
答案:
2.(2016·武汉高二检测)当 x∈时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
【解析】选 C.当 x=0 时,3≥0 恒成立,a∈R.
当 00,h(x)递增,
所以 h(x)max=h(1)=-6,
所以 a≥-6.
当-2≤x<0 时,a≤ .
易知 h(x)= 在
4.定义在 R 上的可导函数 f(x)=x2+2xf′(2)+15,在闭区间上有最大值 15,最小值-1,则 m 的
取值范围是 .
【解析】函数 f(x)=x2+2xf′(2)+15 的导函数为 f′(x)=2x+2f′(2),
所以 f′(2)=4+2f′(2),
所以 f′(2)=-4,
所以 f(x)=x2-8x+15,且对称轴为 x=4.
又因为在闭区间上有最大值 15,最小值-1,且 f(0)=15,f(4)=-1,
所以 ⊆,且 f(m)≤f(0)=15,
所以 4≤m≤8.
答案:
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.(2016·江苏高考改编)已知函数 f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).设 a=2,b= .
(1)求方程 f(x)=2 的根.
(2)若对任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的最大值.
【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.
(2)分离变量 m,应用基本不等式求最值.
【解析】(1)f(x)=2x+ ,由 f(x)=2 可得 2x+ =2⇒ =0⇒2x=1⇒x=0.
(2)由题意得 22x+ ≥m -6 恒成立,
令 t=2x+ ,则由 2x>0 可得 t≥2 =2,此时 t2-2≥mt-6 恒成立,即 m≤ =t+ 恒
成立,
因为 t≥2 时 t+ ≥2 =4,当且仅当 t=2 时等号成立,因此实数 m 的最大值为 4.
6.(2016·郑州高二检测)设函数 f(x)= x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数 a>1.
(1)讨论 f(x)的单调性.
(2)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由 a>1 知,2a>2,当 x<2 时,
f′(x)>0,故 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;
当 22a 时,f′(x)>0,故 f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.
综上,当 a>1 时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.
(2)由(1)知,当 x≥0 时,f(x)在 x=2a 或 x=0 处取得最小值.
f(2a)= (2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=- a3+4a2+24a,f(0)=24a.
由假设知 即
解得 1
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