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文档介绍
2020_2021学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语2
2.2 充分条件、必要条件、充要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.(重点、难点) 2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.(重点) 3.理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系.(重点) 4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.(难点) 1.通过充要条件的判断,提升逻辑推理素养. 2.借助充要条件的应用,培养数学运算素养. “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语,你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗? (1)习近平总书记在2020年3月26日出席二十国集团领导人应对新冠肺炎特别峰会上讲话中指出:“只要我们同舟共济、守望相助,就一定能够彻底战胜疫情,迎来人类发展更加美好的明天!”. (2)“文学不只是知识,同时也是一种能力,写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》). 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 “p⇒q”含义的理解:一方面,一旦p成立,q一定也成立.即p对q的成立是充分的;另一方面,如果q不成立,那么p一定不成立;即q对p的成立是充分的. 思考1:(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同? (2)以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗? [提示] (1)相同,都是p⇒q.(2)等价. - 7 - 2.充要条件 (1)如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称p是q的充要条件. 为了方便起见,p是q的充要条件,就记作p⇔q,称为“p与q等价”或“p等价于q”“⇒”和“⇔”都具有传递性,即 ①如果p⇒q,q⇒s,则p⇒s; ②如果p⇔q, q⇔s,则p⇔s; (2)若p⇒q,但qp,则称p是q的充分不必要条件. (3)若q⇒p,但pq,则称p是q的必要不充分条件. (4)若pq,且qp,则称p是q的既不充分也不必要条件. 思考2:(1)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题,这种说法对吗? (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? [提示] (1)正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件,q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论. 3.性质定理和判定定理与充分必要条件的关系 (1)性质定理是某类对象具有的具体特征,所以性质定理具有“必要性”; (2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征,所以判定定理具有“充分性”; (3)数学中的定义既可以作为判定,也可以作为性质.即数学中的定义具有“充要性”. 1.“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件,也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C 2.使x>3成立的一个充分条件是( ) A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2 A [只有x>4⇒x>3,其他选项均不可推出x>3.] 3.使x>3成立的一个必要不充分条件是( ) A.x>4 B.x<4 C.x>2 D.x<2 C [因为x>3⇒x>2,x>2x>3,所以选C.] - 7 - 4.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A [因为x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4, x2+y2≥4x≥2且y≥2,如x=-2,y=1,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件.] 充分条件、必要条件的判断 【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件. (1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0. (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等. (3)p:a>b,q:ac>bc. [解] (1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0x-3=0,故p是q的充分不必要条件. (2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件. (3)a>bac>bc,且ac>bca>b, 故p是q的既不充分也不必要条件. 定义法判断充分条件、必要条件 (1)确定谁是条件,谁是结论. (2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件. (3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. 1.指出下列各组命题中,p是q的什么条件. (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形. (2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0. [解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等, 所以p是q的既不充分也不必要条件. (2)因为(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0,所以p是q的充分不必要条件. - 7 - 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [探究问题] 1.记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分不必要条件,则集合A,B的关系是什么?若p是q的必要不充分条件呢? [提示] 若p是q的充分不必要条件,则AB,若p是q的必要不充分条件,则BA. 2.记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M⊆N,则p是q的什么条件?若N⊆M,M=N呢? [提示] 若M⊆N,则p是q的充分条件,若N⊆M,则p是q的必要条件,若M=N,则p是q的充要条件. 【例2】 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 . [思路点拨] {m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q且qp. 即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集,所以或解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.] 1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求m的取值范围. [解] 因为p是q的必要不充分条件,所以q⇒p,且pq. 则{x|1-m≤x≤1+m,m>0}{x|-2≤x≤10}, 所以,解得0查看更多
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