2020_2021学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语2

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文档介绍

2020_2021学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语2

‎2.2 充分条件、必要条件、充要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.(重点、难点)‎ ‎2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.(重点)‎ ‎3.理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系.(重点)‎ ‎4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.(难点)‎ ‎1.通过充要条件的判断,提升逻辑推理素养.‎ ‎2.借助充要条件的应用,培养数学运算素养.‎ ‎“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语,你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗?‎ ‎(1)习近平总书记在‎2020年3月26日出席二十国集团领导人应对新冠肺炎特别峰会上讲话中指出:“只要我们同舟共济、守望相助,就一定能够彻底战胜疫情,迎来人类发展更加美好的明天!”.‎ ‎(2)“文学不只是知识,同时也是一种能力,写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》).‎ ‎1.充分条件与必要条件 命题真假 ‎“若p,则q”是真命题 ‎“若p,则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ‎“p⇒q”含义的理解:一方面,一旦p成立,q一定也成立.即p对q的成立是充分的;另一方面,如果q不成立,那么p一定不成立;即q对p的成立是充分的.‎ 思考1:(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同?‎ ‎(2)以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗?‎ ‎[提示] (1)相同,都是p⇒q.(2)等价.‎ - 7 -‎ ‎2.充要条件 ‎(1)如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称p是q的充要条件.‎ 为了方便起见,p是q的充要条件,就记作p⇔q,称为“p与q等价”或“p等价于q”“⇒”和“⇔”都具有传递性,即 ‎①如果p⇒q,q⇒s,则p⇒s;‎ ‎②如果p⇔q, q⇔s,则p⇔s;‎ ‎(2)若p⇒q,但qp,则称p是q的充分不必要条件.‎ ‎(3)若q⇒p,但pq,则称p是q的必要不充分条件.‎ ‎(4)若pq,且qp,则称p是q的既不充分也不必要条件.‎ 思考2:(1)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题,这种说法对吗?‎ ‎(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里?‎ ‎[提示] (1)正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q.‎ ‎(2)①p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.‎ ‎②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.‎ ‎3.性质定理和判定定理与充分必要条件的关系 ‎(1)性质定理是某类对象具有的具体特征,所以性质定理具有“必要性”;‎ ‎(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征,所以判定定理具有“充分性”;‎ ‎(3)数学中的定义既可以作为判定,也可以作为性质.即数学中的定义具有“充要性”.‎ ‎1.“同位角相等”是“两直线平行”的(   )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件,也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] C ‎2.使x>3成立的一个充分条件是(  )‎ A.x>4 B.x>0 ‎ C.x>2 D.x<2‎ A [只有x>4⇒x>3,其他选项均不可推出x>3.]‎ ‎3.使x>3成立的一个必要不充分条件是(  )‎ A.x>4 B.x<4 ‎ C.x>2 D.x<2‎ C [因为x>3⇒x>2,x>2x>3,所以选C.]‎ - 7 -‎ ‎4.设x,y∈R,则“x≥2且y≥‎2”‎是“x2+y2≥‎4”‎的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A [因为x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4, x2+y2≥4x≥2且y≥2,如x=-2,y=1,所以“x≥2且y≥‎2”‎是“x2+y2≥‎4”‎的充分不必要条件.]‎ 充分条件、必要条件的判断 ‎【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件.‎ ‎(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.‎ ‎(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.‎ ‎(3)p:a>b,q:ac>bc.‎ ‎[解] (1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0x-3=0,故p是q的充分不必要条件.‎ ‎(2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件.‎ ‎(3)a>bac>bc,且ac>bca>b,‎ 故p是q的既不充分也不必要条件.‎ 定义法判断充分条件、必要条件 (1)确定谁是条件,谁是结论.‎ (2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.‎ (3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.‎ ‎1.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.‎ ‎(1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.‎ ‎(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.‎ ‎[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,‎ 所以p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎(2)因为(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0,所以p是q的充分不必要条件.‎ - 7 -‎ 充分条件、必要条件、充要条件的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分不必要条件,则集合A,B的关系是什么?若p是q的必要不充分条件呢?‎ ‎[提示] 若p是q的充分不必要条件,则AB,若p是q的必要不充分条件,则BA.‎ ‎2.记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M⊆N,则p是q的什么条件?若N⊆M,M=N呢?‎ ‎[提示] 若M⊆N,则p是q的充分条件,若N⊆M,则p是q的必要条件,若M=N,则p是q的充要条件.‎ ‎【例2】 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 .‎ ‎[思路点拨]  ‎ ‎{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q且qp.‎ 即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集,所以或解得m≥9.‎ 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.]‎ ‎1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求m的取值范围.‎ ‎[解] 因为p是q的必要不充分条件,所以q⇒p,且pq.‎ 则{x|1-m≤x≤1+m,m>0}{x|-2≤x≤10},‎ 所以,解得0‎0”‎是“x≠‎0”‎的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A [由“x>‎0”‎⇒“x≠‎0”‎,反之不一定成立.因此“x>‎0”‎是“x≠‎0”‎的充分不必要条件.]‎ ‎3.已知:A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}, x,y∈Z,则x,y∈A是x+y∈B的 条件.‎ ‎(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)‎ 既不充分又不必要 [若x=2,y=4, 则x+y=6B;因为1+3=4∈B,但1,‎3A.]‎ ‎4.已知p:实数x满足‎3a
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