高中数学 3_1_4课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 ‎‎3.1.4‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．已知A、B、C、D、E是空间五点，若{，，}、{，，A}均不能构成空间的一个基底，则在下列各结论中，正确的结论共有(　　)‎ ‎①{A，A，}不构成空间的一个基底；‎ ‎②{，A，A}不构成空间的一个基底；‎ ‎③{B，，D}不构成空间的一个基底；‎ ‎④{A，C，E}构成空间的一个基底．‎ A．4个　　　　　　　　　　　 B．3个 C．2个 D．1个 解析：　由A、A、A与、A、A均不能构成空间的一个基底可知A、A、A、A为共面向量，即A、B、C、D、E五点共面，故①②③为真命题．‎ 答案：　B ‎2．给出下列命题：‎ ‎①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；‎ ‎②若a∥b，则a，b与任一个向量都不能构成空间的一个基底；‎ ‎③A、B、C、D是空间四点，若B，B，B不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：　①②③都是真命题．‎ 答案：　D ‎3．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为(　　)‎ A.，－1，－ B.，1， C．－，1，－ D.，1，－ 解析：　d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)‎ ‎＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3‎ 又∵d＝e1＋2e2＋3e3，‎ ‎∴，‎ ‎∴ 答案：　A ‎4.如图所示，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，′＝b，D是四边形OABC的中心，则(　　)‎ A.＝－a＋b＋c ‎ B.＝－b－a－c C.＝a－b－c ‎ D.＝a－b＋c 解析：　＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝a－b＋c.‎ 答案：　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则从以下各向量a、b、c、a＋b、a－b、a＋c、a－c、b＋c、b－c中选出三个向量，有些可构成空间的基底，请你写出三个基底：____________.‎ 答案：　①{c，a＋b，a－b}　②{b，a＋c，a－c}‎ ‎③{a，b＋c，b－c}‎ ‎6．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E、F分别是底面A‎1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.‎ 解析：　如图，连结A‎1C1，C1D，则E在A‎1C1上，F在C1D上，‎ 易知EF綊A1D，‎ ‎∴＝，‎ 即E－＝0，‎ ‎∴λ＝－.‎ 答案：　－ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7.如图所示，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设O＝a，O＝b，O＝c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：B、B、A、E.‎ 解析：　连结BO，则B＝B＝(B＋O)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.‎ B＝B＋C＝－a＋C＝－a＋(C＋O)‎ ‎＝－a－b＋c.‎ A＝A＋P＝A＋O＋(P＋O)‎ ‎＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.‎ E＝C＝O＝a.‎ ‎8．已知正四面体ABCD棱长为a，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标．‎ 解析：　过A作AG垂直于平面BCD，‎ 由于AB＝AC＝AD，所以G为△BCD的中心，‎ 过G作GF∥CD，E为CD的中点，‎ 以G为原点，，G，G分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 因为△BCD的边长为a，‎ 则BE＝a，GE＝a，‎ 又＝，‎ 所以GF＝×a＝a，‎ 又BG＝a，‎ 所以AG＝＝a，‎ 所以A，B，C，‎ D.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，‎ 且BE＝BB1，DF＝DD1.‎ ‎(1)证明：A、E、C1、F四点共面；‎ ‎(2)若＝x＋y＋z，‎ 求x＋y＋z.‎ 解析：　(1)证明：∵＝＋＋ ‎＝＋＋＋ ‎＝＋ ‎＝＋＋＋＝＋，‎ ‎∴A、E、C1、F四点共面．‎ ‎(2)∵＝－＝＋－(＋)‎ ‎＝＋－－ ‎＝－＋＋，‎ ‎∴x＝－1，y＝1，z＝，‎ ‎∴x＋y＋z＝.‎