高中数学第二章数列2-2等差数列第2课时等差数列的性质达标检测含解析新人教A版必修5

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高中数学第二章数列2-2等差数列第2课时等差数列的性质达标检测含解析新人教A版必修5

等差数列 A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为(  )‎ A.5 B.6 C.8 D.10‎ 解析:由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,‎ 又因为a1+a9=10,即2a5=10,‎ 所以a5=5.‎ 答案:A ‎2.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是(  )‎ A.-2 B.- C.2 D. 解析:因为an+1-an=3,‎ 所以{an}为等差数列,且d=3.‎ a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,‎ a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,‎ 所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.‎ 答案:C ‎3.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是(  )‎ A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析:因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,‎ 所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.‎ 答案:C ‎4.在数列{an}中,a3=2,a7=1,如果数列是等差数列,那么a11等于(  )‎ A. B. C. D.1‎ - 5 -‎ 解析:依题意得+=2·,‎ 所以=-=,‎ 所以a11=.‎ 答案:B ‎5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为(  )‎ A.个 B.个 C.个 D.个 解析:易得中间的一份为20个面包,设最小的一份的量为a1,公差为d(d>0),根据题意,有[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得a1=.‎ 故最小一份的量为个.‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.在等差数列{an}中,a3,a10是方程x2-3x-5=0的根,则a5+a8=________.‎ 解析:由已知得a3+a10=3.‎ 又数列{an}为等差数列,‎ 所以a5+a8=a3+a10=3.‎ 答案:3‎ ‎7.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2a=a+a(n∈N*,n≥2),则a7=________.‎ 解析:由2a=a+a(n∈N*,n≥2),可得数列{a}是等差数列,公差d=a-a=3,首项a=1,所以a=1+3(n-1)=3n-2,又{an}为正项数列,‎ 所以an=,所以a7=.‎ 答案: ‎8.已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an=________________.‎ 解析:由题设可得-+1=0,‎ 即-=1,所以数列是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式=n - 5 -‎ ‎,所以an=n2.‎ 答案:n2‎ 三、解答题 ‎9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.‎ 解:法一 因为a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,‎ 所以a4=5.‎ 又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,‎ 即(a4-2d)(a4+2d)=9,‎ ‎(5-2d)(5+2d)=9,‎ 解得d=±2.‎ 若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;‎ 若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.‎ 法二 设等差数列的公差为d,‎ 则由a1+a4+a7=15,得 a1+a1+3d+a1+6d=15,‎ 即a1+3d=5,①‎ 由a2a4a6=45,‎ 得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,‎ 将①代入上式,得 ‎(a1+d)×5×(5+2d)=45,‎ 即(a1+d)×(5+2d)=9,②‎ 解①,②组成的方程组,得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2,‎ 即an=-1+2(n-1)=2n-3,‎ 或an=11-2(n-1)=-2n+13.‎ ‎10.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.‎ 解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),‎ 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,‎ 即a=1,a2-9d2=-8,‎ 所以d2=1,所以d=1或d=-1.‎ 又四个数成递增等差数列,所以d>0,‎ 所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.‎ B级 能力提升 ‎1.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=‎ - 5 -‎ ‎(  )‎ A.1 B. C. D. 解析:设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列,‎ 则a1+a4=a2+a3=2,‎ 再设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2,‎ 因为a1=,所以d=,‎ 所以a2=+=,‎ a3=+1=,‎ a4=+=,‎ 所以|m-n|=|a1a4-a2a3|==.‎ 答案:C ‎2.已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点(1,2)的该圆的三条弦的长a1,a2,a3构成等差数列,则数列a1,a2,a3的公差的最大值是________.‎ 解析:如图,由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,‎ 所以圆心坐标C(3,0),半径r=3,‎ 由圆的性质可知,过点P(1,2)的该圆的弦的最大值为圆的直径,等于6,‎ 最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长,‎ 因为|CP|==2,‎ 所以|AB|=2=2,‎ 即a1=2,a3=6,‎ 所以公差d的最大值为==2.‎ 答案:2‎ ‎3.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).‎ - 5 -‎ ‎(1)求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0,‎ 得-=3(n≥2).‎ 又因为a1=1,‎ 所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.‎ ‎(2)解:由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,‎ 所以an=.‎ 又当n=1时,a1=1,符合上式,‎ 所以数列{an}的通项公式是an=.‎ - 5 -‎
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