2017年上海市静安区高考一模数学

2017年上海市静安区高考一模数学

2017 年上海市静安区高考一模数学 一、填空题(50 分)本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个 空格填对得 5 分，否则一律得零分. 1.“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则 a 的取值范围是_____. 解析：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件， 则 a 的取值范围是(0，+∞). 答案：(0，+∞). 2.函数 f(x)=1-3sin2(x+ 4  )的最小正周期为_____. 解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得 f(x)的最小 正周期. 答案：π. 3.若复数 z 为纯虚数，且满足(2-i)z=a+i(i 为虚数单位)，则实数 a 的值为_____. 解析：由(2-i)z=a+i，得 z= 2 ai i   ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，由复数 z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 答案： 1 2 . 4.二项式(x2+ 1 x )5 展开式中 x 的系数为_____. 解析：利用二项式(x2+ )5 展开式的通项公式即可求得答案. 答案：10. 5.用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为_____立方米. 解析：由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案. 答案： 3 24  . 6.已知α为锐角，且 cos(α+ 4  )= 3 5 ，则 sinα=_____. 解析：由α为锐角求出α+ 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α+ 4  )的 值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即 可求出值. 答案： 2 10 . 7.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20 毫克/100 毫升的行为属于 饮酒驾车.假设饮酒后，血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升，经过 x 个小时，酒精含量 降为 p 毫克/100 毫升，且满足关系式 p=p0·erx(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量 为 89 毫克/100 毫升，2 小时后，测得其血液中酒精含量降为 61 毫克/100 毫升，则此人饮 酒后需经过_____小时方可驾车.(精确到小时) 解析：先求出 er= 61 89 ，再利用 89·exr＜20，即可得出结论. 答案：8. 8.已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，数列{xn}是一个公差为 2 的等差数列，满足 f(x7)+f(x8)=0，则 x2017 的值为_____. 解析：设 x7=x，则 x8=x+2，则 f(x)+f(x+2)=0，结合奇函数关于原点的对称性可知， f(x+1)=0=f(0)，x7=-1.设数列{xn}通项 xn=x7+2(n-7).得到通项 xn=2n-15.由此能求出 x2011 的 值. 答案：4019. 9.直角三角形 ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，点 M 是三角形 ABC 外接圆上任意一点，则 AB ·AM 的最大值为_____. 解析：建立坐标系，设 M ( 3 2 + 5 2 cosα，2+ sinα)，则 =( + cosα，2+ sinα)， =(3，0)， · AM = 9 2 +15 2 cosα≤12. 答案：12. 10.已知 f(x)=ax-b((a＞0 且且 a≠1，b∈R)，g(x)=x+1，若对任意实数 x 均有 f(x)·g(x) ≤0，则 14 ab 的最小值为_____. 解析：根据对任意实数 x 均有 f(x)·g(x)≤0，求出 a，b 的关系，可求 14 ab 的最小值. 答案：4. 二、选择题(25 分)本大题共有 5 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确 的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 11.若空间三条直线 a、b、c 满足 a⊥b，b⊥c，则直线 a 与 c( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、是异面直线都有可能 解析：如图所示：a⊥b，b⊥c， a 与 c 可以相交，异面直线，也可能平行. 从而若直线 a、b、c 满足 a⊥b、b⊥c，则 a∥c，或 a 与 c 相交，或 a 与 c 异面. 答案：D. 12.在无穷等比数列{an}中， lim n (a1+a2+…+an)= 1 2 ，则 a1 的取值范围是( ) A.(0， ) B.( ，1) C.(0，1) D.(0， )∪( ，1) 解析：利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出 a1 的取值范围. 答案：D. 13.某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加， 那么不同的发言顺序有( ) A.336 种 B.320 种 C.192 种 D.144 种 解析：根据题意，分 2 种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、 组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案. 答案：A. 14.已知椭圆 C1，抛物线 C2 焦点均在 x 轴上，C1 的中心和 C2 顶点均为原点 O，从每条曲线上 各取两个点，将其坐标记录于表中，则 C1 的左焦点到 C2 的准线之间的距离为( ) A. 2 -1 B. 3 -1 C.1 D.2 解析：由表可知：抛物线 C2 焦点在 x 轴的正半轴，设抛物线 C2：y2=2px(p＞0)，则有 2y x =2p(x ≠0)，将(3，-2 3 )，(4，-4)在 C2 上，代入求得 2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线 方程，设椭圆 C1： 22 22 xy ab =1(a＞b＞0)，把点(-2，0)，( 2 ， 2 2 )，即可求得椭圆方程， 求得焦点坐标，即可求得 C1 的左焦点到 C2 的准线之间的距离. 答案：B. 15.已知 y=g(x)与 y=h(x)都是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当 x＞0 时，g(x)=   2 01 11 xx g x x     ，＜ ， ＞ ，h(x)=klog2x(x＞0)，若 y=g(x)-h(x)恰有 4 个零点，则正实数 k 的取值 范围是( ) A.[ 1 2 ，1] B.( 1 2 ，1] C.( 1 2 ，log32] D.[ 1 2 ，log32] 解析：问题转化为 g(x)和 h(x)有 4 个交点，画出函数 g(x)，h(x)的图象，结合图象得到关 于 k 的不等式组，解出即可. 答案：C. 三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应 的题号)内写出必要的步骤. 16.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F 分别是棱 AD，CD 的中点. (1)求异面直线 BC1 与 EF 所成角的大小； (2)求四面体 CA1EF 的体积. 解析：(1)连接 A1C1，由 E，F 分别是棱 AD，CD 的中点，可得 EF∥AC，进一步得到 EF∥A1C1， 可知∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 EF 所成角.然后求解直角三角形得答案； (2)直接利用等体积法把四面体 CA1EF 的体积转化为三棱锥 A1-EFC 的体积求解. 答案：(1)连接 A1C1， ∵E，F 分别是棱 AD，CD 的中点，∴EF∥AC，则 EF∥A1C1， ∴∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 EF 所成角. 在△A1C1B 中，由 AB=a，AA1=2a，得 C1B=A1B=5a，A1C1=2a， ∴cos∠A1C1B= 2 102 105 a a  ， ∴异面直线 BC1 与 EF 所成角的大小为 arccos 10 10 ； (2) 11 311····23 2 2 2 12C A EF A EFC a a aV V a   . 17.设双曲线 C： 22 23 xy =1，F1，F2 为其左右两个焦点. (1)设 O 为坐标原点，M 为双曲线 C 右支上任意一点，求 1·OM F M 的取值范围； (2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1，F2 的距离之和为定值，且 cos∠F1PF2 的最小值为- 1 9 ， 求动点 P 的轨迹方程. 解析：(1)设 M(x，y)，x≥ 2 ，左焦点 F1(- 5 ，0)，通过 =(x，y)·(x+ ， y)利用二次函数的性质求出对称轴 x=- 5 5 ≤ ，求出 的取值范围. (2)写出 P 点轨迹为椭圆 22 22 xy ab =1，利用|F1F2|=2 ，|PF1|+|PF2|=2a，结合余弦定理， 以及基本不等式求解椭圆方程即可. 答案：(1)设 M(x，y)，x≥ ，左焦点 F1(- ，0)， =(x，y)·(x+ ，y)=x2+ x+y2=x2+ x+ 23 2 x -3= 5 2 x2+ x-3(x≥ 2 )对称轴 x=- 5 5 ≤ ， ∈[2+ 10 ，+∞) (2)由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆 22 22 xy ab =1，|F1F2|=2 5 ，|PF1|+|PF2|=2acos∠F1PF2= 22 12 12 20 2 PF PF PF PF    = 2 12 12 4 2 20 2 a PF PF PF PF     = 2 12 4 20 21 a PF PF   由基本不等式得 2a=|PF1|+|PF2|≥ 122 PF PF ， 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立|PF1|·|PF2|≤a2 cos∠F1PF2≥ 2 2 4 20 12 a a   =- 1 9 a2=9， b2=4 所求动点 P 的轨迹方程为 22 94 xy =1. 18.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 A(看做一点)的东偏 南θ角方向(cosθ= 2 10 )，300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大. (1)问 10 小时后，该台风是否开始侵袭城市 A，并说明理由； (2)城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 解析：(1)建立直角坐标系，，则城市 A(0，0)，当前台风中心 P(30 2 ，-210 )，设 t 小时后台风中心 P 的坐标为(x，y)，由题意建立方程组，能求出 10 小时后，该台风还没有 开始侵袭城市 A. (2)t 小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30 -10 2 t，-210 +10 2 t)为圆心，60+10t 为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果. 答案：(1)如图建立直角坐标系， 则城市 A(0，0)，当前台风中心 P(30 2 ，-210 )， 设 t 小时后台风中心 P 的坐标为(x，y)， 则 30 2 10 2 210 2 10 2 xt yt      ，此时台风的半径为 60+10t， 10 小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为 r=160km， ∵r＜|PA|， ∴10 小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A. (2)由(1)知t小时后台风侵袭的范围可视为以P(30 -10 2 t，-210 +10 2 t)为圆心， 60+10t 为半径的圆， 若城市 A 受到台风侵袭， 则    22 30 2 10 2 0 210 2 10 2 0tt            ≤(60+10t)， ∴300t2-10800t+86400≤0，即 t2-36t+288≤0， 解得 12≤t≤24 ∴该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时. 19.设集合 Ma={f(x)|存在正实数 a，使得定义域内任意 x 都有 f(x+a)＞f(x)}. (1)若 f(x)=2x-x2，试判断 f(x)是否为 M1 中的元素，并说明理由； (2)若 g(x)=x3- 1 4 x+3，且 g(x)∈Ma，求 a 的取值范围； (3)若 h(x)=log3(x+ k x )， x∈[1，+∞)(k∈R)，且 h(x)∈M2，求 h(x)的最小值. 解析：(1)利用 f(1)=f(0)=1，判断 f(x)M1. (2)f(x+a)-f(x)＞0，化简，通过判别式小于 0，求出 a 的范围即可. (3)由 f(x+a)-f(x)＞0，推出 h(x+2)-h(x)=log3[(x+2)+ 2 k x  ]-log3(x+ )＞0，得到 x+2+ ＞x+ ＞0 对任意 x∈[1，+∞)都成立，然后分离变量，通过当-1＜k≤0 时，当 0＜k ＜1 时，分别求解最小值即可. 答案：(1)∵f(1)=f(0)=1，∴f(x) M1. (2)由 g(x+a)-g(x)=(x+a)3-x3- 1 4 (x+a)+ x=3ax2+3a2x+a3- a＞0 ∴△=9a4-12a(a3- a)＜0，故 a＞1. (3)由 h(x+2)-h(x)=log3[(x+2)+ 2 k x  ]-log3(x+ k x )＞0， 即：log3[(x+2)+ ]＞log3(x+ k x ) ∴x+2+ ＞x+ k x ＞0 对任意 x∈[1，+∞)都成立 ∴   2 2 3 1 k x x k kkx    ＜ ＜ ＞＞ -1＜k＜3 当-1＜k≤0 时，h(x)min=h(1)=log3(1+k)； 当 0＜k＜1 时，h(x)min=h(1)=log3(1+k)； 当 1≤k＜3 时，h(x)min=h( k )=log3(2 k ). 综上：h(x)min=     3 3 1 1 1 2 1 3 log k k log k k   ， ＜ ＜ ， ＜ . 20.由 n(n≥2)个不同的数构成的数列 a1，a2，…an 中，若 1≤i＜j≤n 时，aj＜ai(即后面的 项 aj 小于前面项 ai)，则称 ai 与 aj 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数 列的逆序数.如对于数列 3，2，1，由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个，在第二项 2 后 面比 2 小的项有 1 个，在第三项 1 后面比 1 小的项没有，因此，数列 3，2，1 的逆序数为 2+1+0=3；同理，等比数列 1，- 1 2 ， 1 4 ，- 1 8 的逆序数为 4. (1)计算数列 an=-2n+19(1≤n≤100，n∈N*)的逆序数； (2)计算数列 an= 1 3 1 n n n nn         ， 奇 ， 偶 为 数 为 数 (1≤n≤k，n∈N*)的逆序数； (3)已知数列 a1，a2，…an 的逆序数为 a，求 an，an-1，…a1 的逆序数. 解析：(1)由{an}为单调递减数列，可得逆序数为 99+98+…+1. (2)当 n 为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n-1＞0.当 n 为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n.可得逆序数. (3)在数列 a1，a2，…an 中，若 a1 与后面 n-1 个数构成 p1 个逆序对，则有(n-1)-p1 不构成逆 序对，可得在数列 an，an-1，…a1 中，逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-pn. 答案：(1)∵{an}为单调递减数列，∴逆序数为 99+98+…+1=  99 1 99 2  =4950. (2)当 n 为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n-1＞0. 当 n 为偶数时：an-an-2= 2 11 nn nn  (n≥4)= 2 2 1n   =    2 11nn   ＜0 ∴0＞a2＞a4＞…＞a2n. 当 k 为奇数时，逆序数为(k-1)+(k-3)+…+2+ 3 2 k  + 5 2 k  +…+1= 23 4 1 8 kk； 当 k 为偶数时，逆序数为(k-1)+(k-3)+…+1+ 2 2 k  + 4 2 k  +…+1= 232 8 kk . (3)在数列 a1，a2，…an 中，若 a1 与后面 n-1 个数构成 p1 个逆序对， 则有(n-1)-p1 不构成逆序对，所以在数列 an，an-1，…a1 中， 逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-pn=  1 2 nn -a.