- 2021-06-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 31页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——08 数列(教师版)
专题08 数列 1.【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 【答案】C 【解析】设第n环天石心块数为,第一层共有n环, 则是以9为首项,9为公差的等差数列,, 设为的前n项和,则第一层、第二层、第三层的块数分 别为,因为下层比中层多729块, 所以, 即 即,解得, 所以. 故选:C 【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题,考查学生数学运算能力,是一道容易题. 2.【2020年高考北京】在等差数列中,,.记,则数列A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 【答案】B 【解析】由题意可知,等差数列的公差, 则其通项公式为:, 注意到, 且由可知, 由可知数列不存在最小项, 由于, 故数列中的正项只有有限项:,. 故数列中存在最大项,且最大项为. 故选:B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列中项的符号问题,分类讨论的数学思想等知识,属于中等题. 3.【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差,且.记,,,下列等式不可能成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于A,因为数列为等差数列,所以根据等差数列的下标和性质,由可得,,A正确; 对于B,由题意可知,,, ∴,,,. ∴,. 根据等差数列的下标和性质,由可得,B正确; 对于C,, 当时,,C正确; 对于D,,, . 当时,,∴即; 当时,,∴即,所以,D不正确. 故选:D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,属于基础题. 4.【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列就是二阶等差数列.数列的前3项和是_______. 【答案】 【解析】因为,所以. 即. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和,属于容易题. 5.【2020年高考江苏】设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和,则d+q的值是 ▲ . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意. 等差数列的前项和公式为, 等比数列的前项和公式为, 依题意,即, 通过对比系数可知,故. 故答案为:. 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式,属于中档题. 6.【2020年高考山东】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________. 【答案】 【解析】因为数列是以1为首项,以2为公差的等差数列, 数列是以1首项,以3为公差的等差数列, 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项,以6为公差的等差数列, 所以的前项和为, 故答案为:. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征,等差数列求和公式,属于简单题目. 7.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】 设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项. (1)求的公比; (2)若,求数列的前项和. 【解析】(1)设的公比为,由题设得 即. 所以 解得(舍去),. 故的公比为. (2)设为的前n项和.由(1)及题设可得,.所以 , . 可得 所以. 8.【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3,. (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明; (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 【解析】(1) 猜想 由已知可得 , , …… . 因为,所以 (2)由(1)得,所以 . ① 从而 .② 得 , 所以 9.【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“λ~k”数列. (1)若等差数列是“λ~1”数列,求λ的值; (2)若数列是“”数列,且,求数列的通项公式; (3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列,且?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】(1)因为等差数列是“λ~1”数列,则,即, 也即,此式对一切正整数n均成立. 若,则恒成立,故,而, 这与是等差数列矛盾. 所以.(此时,任意首项为1的等差数列都是“1~1”数列) (2)因为数列是“”数列, 所以,即. 因为,所以,则. 令,则,即. 解得,即,也即, 所以数列是公比为4的等比数列. 因为,所以.则 (3)设各项非负的数列为“”数列, 则,即. 因为,而,所以,则. 令,则,即.(*) ①若或,则(*)只有一解为,即符合条件的数列只有一个. (此数列为1,0,0,0,…) ②若,则(*)化为, 因为,所以,则(*)只有一解为, 即符合条件的数列只有一个.(此数列为1,0,0,0,…) ③若,则的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内, 则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t). 所以或. 由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列有无数多个,则对应的有无数多个. 综上所述,能存在三个各项非负的数列为“”数列,的取值范围是 . 10.【2020年高考山东】 已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式; (2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和. 【解析】(1)设的公比为.由题设得,. 解得(舍去),.由题设得. 所以的通项公式为. (2)由题设及(1)知,且当时,. 所以 . 11.【2020年高考天津】 已知为等差数列,为等比数列,. (Ⅰ)求和的通项公式; (Ⅱ)记的前项和为,求证:; (Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和. 【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由,,可得,从而的通项公式为.由,又,可得,解得,从而的通项公式为. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得,故,,从而,所以. (Ⅲ)解:当为奇数时,;当为偶数时,. 对任意的正整数,有, 和. ① 由①得. ② 由①②得,从而得. 因此,. 所以,数列的前项和为. 12.【2020年高考浙江】已知数列{an},{bn},{cn}满足. (Ⅰ)若{bn}为等比数列,公比,且,求q的值及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若{bn}为等差数列,公差,证明:. 【解析】(Ⅰ)由得,解得. 由得. 由得. (Ⅱ)由得, 所以, 由,得,因此. 13.【2020年高考北京】已知是无穷数列.给出两个性质: ①对于中任意两项,在中都存在一项,使; ②对于中任意项,在中都存在两项.使得. (Ⅰ)若,判断数列是否满足性质①,说明理由; (Ⅱ)若,判断数列是否同时满足性质①和性质②,说明理由; (Ⅲ)若是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:为等比数列. 【解析】 (Ⅰ)不具有性质①; (Ⅱ)具有性质①; 具有性质②; (Ⅲ)【解法一】 首先,证明数列中的项数同号,不妨设恒为正数: 显然,假设数列中存在负项,设, 第一种情况:若,即, 由①可知:存在,满足,存在,满足, 由可知,从而,与数列的单调性矛盾,假设不成立. 第二种情况:若,由①知存在实数,满足,由的定义可知:, 另一方面,,由数列单调性可知:, 这与的定义矛盾,假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得,数列中的项数同号. 其次,证明: 利用性质②:取,此时, 由数列的单调性可知, 而,故, 此时必有,即, 最后,用数学归纳法证明数列为等比数列: 假设数列的前项成等比数列,不妨设, 其中,(情况类似) 由①可得:存在整数,满足,且 (*) 由②得:存在,满足:,由数列的单调性可知:, 由可得: (**) 由(**)和(*)式可得:, 结合数列的单调性有:, 注意到均为整数,故, 代入(**)式,从而. 总上可得,数列的通项公式为:. 即数列为等比数列. 【解法二】假设数列中的项数均为正数: 首先利用性质②:取,此时, 由数列的单调性可知, 而,故, 此时必有,即, 即成等比数列,不妨设, 然后利用性质①:取,则, 即数列中必然存在一项的值为,下面我们来证明, 否则,由数列的单调性可知, 在性质②中,取,则,从而, 与前面类似的可知则存在,满足, 若,则:,与假设矛盾; 若,则:,与假设矛盾; 若,则:,与数列的单调性矛盾; 即不存在满足题意的正整数,可见不成立,从而, 同理可得:,从而数列为等比数列, 同理,当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负,不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证,数列为等比数列. 【点睛】本题主要考查数列的综合运用,等比数列的证明,数列性质的应用,数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识,意在考查学生的转化能力和推理能力. 1.【2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次“战疫”线上测试数学】在等差数列中,若,,则和的等比中项为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得:,所以,, 所以., 所以和的等比中项为. 故选A. 2.【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,则最小一份的量为 A.5 B. C. D.10 【答案】C 【解析】设最小的一份为,公差为d, 由题意可得,且, 解得, 故选C. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前n项和公式的应用,属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有5个基本量,列出方程组,可求得数列中的量. 3.【湘赣粤2020届高三(6月)大联考】已知数列的前n项和为,,,则数列的通项公式为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为数列的前项和为,,, 当时,; 把代入检验,只有答案AB成立,排除CD; 当时,;排除B. 故选A . 【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用以及排除法在选择题中的应用,属于基础题. 4.【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知等比数列的前项和为,若,,则 A. B. C. D.6 【答案】A 【解析】设等比数列的首项为,公比为, 因为且, 所以,解得或, 当,时,; 当,时,. 所以. 故选A. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式,考查学生对公式的熟练程度及计算能力,属于基础题. 5.【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考数学】已知数列的前项和,且满足,则 A.1013 B.1022 C.2036 D.2037 【答案】A 【解析】由数列的前项和,且满足, 当时,, 两式相减,可得,即, 令,可得,解得, 所以数列表示首项为,公比为的等比数列,所以, 则 ,所以, 所以 . 故选:A. 【点睛】 本题考查了等比数列的定义,等比数列的通项公式以及等比数列的前项和公式的综合应用,着重考查推理与计算能力,属于中档试题. 6.【山西省阳泉市2020届高三下学期第二次质量调研数学】已知数列中,,,则 A. B. C. D.5051 【答案】D 【解析】由题意,数列中,,, 则, 各式相加,可得 , 所以. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项,以及等差数列的前项和公式的应用,其中解答中根据数列的递推关系式,合理利用叠加法求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题. 7.【2020届广东省中山市高三上学期期末数学】已知数列是各项均为正数的等比数列,为数列的前项和,若,则的最小值为 A.9 B.12 C.16 D.18 【答案】D 【解析】由得,所以.所以.当且仅当时取得最小值. 故选D. 8.【2020届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测数学】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少()里. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设每天走的路程里数为,则是公比为的等比数列, 由得, 解得: 所以 后四天走的路程:,前两天走的路程:, 又,且,∴, ∴ 故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198, 故选:A. 9.【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】若是公比为的等比数列,记为的前项和,则下列说法正确的是 A.若是递增数列,则, B.若是递减数列,则, C.若,则 D.若,则是等比数列 【答案】D 【解析】A选项中,,满足单调递增,故A错误; B选项中,,满足单调递减,故B错误; C选项中,若,则,故C错误; D选项中,,所以是等比数列.故D正确. 故选D. 【点睛】 本题考查了等比数列的定义,考查了数列的单调性,考查了特值排除法,属于基础题. 10.【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知数列是等比数列,,则__________. 【答案】 【解析】设的公比为,由,得,故. 故答案为: 11.【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测数学】记为等差数列的前项和.已知,,则公差__________. 【答案】 【解析】设等差数列的首项为,公差为, , 解得 故答案为: 12.【河北省2020届高三上学期第一次大联考数学】等差数列,的前项和分别为,,若对任意正整数都有,则的值为 . 【答案】 【解析】因为,是等差数列,所以, 则. 13.【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试数学】已知数列满足,则________. 【答案】-1. 【解析】, 累加得, 所以,当时也符合, . 故答案为:-1 14.【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】记为正项等差数列的前项和,若,则_________. 【答案】 【解析】设等差数列的公差为, 由题得,所以 所以. 所以. 故答案为. 【点睛】 本题主要考查等差数列的基本量计算,考查等差中项的应用和求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作,其中记载了一个这样的问题:假设每对老鼠每月生子一次,每月生12只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了12只小老鼠,一共有14只;2个月后,每对老鼠各生了12只小老鼠,一共有98只.以此类推,假设n个月后共有老鼠只,则_____. 【答案】 【解析】由题意可得1个月后的老鼠的只数, 2个月后老鼠的只数, 3个月后老鼠的只数…, n个月后老鼠的只数. 故答案为:. 【点睛】 本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式,考查运算求解能力. 16.【山西省太原市2019-2020学年高三上学期期末数学】记数列的前项和为,若,,,则___________. 【答案】2559 【解析】因为,, 所以, 所以, , , , . 则. 故答案为:2559 【点睛】 本题主要考查数列递推累加求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 17.【广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学】已知函数(,)有两个不同的零点,,和,三个数适当排序后既可成为等差数列,也可成为等比数列,则函数的解析式为______. 【答案】 【解析】函数(,)有两个不同的零点, , 可得,且, 和,三个数适当排序后既可成为等差数列,也可成为等比数列, 可得, 再设−2,,为等差数列,可得, 代入韦达定理可得, 即有,解得a=−5(4舍去), 则. 故答案为:. 【点睛】 本题考查函数的零点和二次方程的韦达定理,以及等差数列和等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题. 18.【江西省2019-2020学年高三4月新课程教学质量监测卷】设Sn为等差数列{an}的前n项和,S7=49,a2+a8=18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若S3、a17、Sm成等比数列,求S3m. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,∵Sn为等差数列{an}的前n项和,S7=49,a2+a8=18, ∴⇒,解得:d=2. ∴ (2)由(1)知:. ∵成等比数列,∴,即9m2,解得m11. 故 【点睛】 本题考查求等差数列的通项公式和求前项的和,以及等比数列的性质,属于中档题. 19.【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】记是正项数列的前项和,是和的等比中项. (1)求数列的通项公式; (2)记,求数列的前项和. 【解析】(1)因为是和的等比中项, 所以①,当时,②, 由①②得:, 化简得,即或者(舍去), 故,数列为等差数列, 因为,解得, 所以数列是首项为、公差为的等差数列,. (2)因为, 所以. 【点睛】 本题考查数列通项公式的求法以及数列的前项和的求法,考查等差数列的判定,考查裂项相消法求和,考查推理能力与计算能力,是中档题. 20.【2020届广东省中山市高三上学期期末数学】设为数列的前项和,已知,. (1)证明为等比数列; (2)判断,,是否成等差数列?并说明理由. 【解析】(1)证明:∵,,∴, 由题意得,, ∴是首项为2,公比为2的等比数列. (2)由(1),∴. ∴, ∴, ∴,即,,成等差数列. 21.【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】等差数列的前项和为,,其中,,成等比数列,且数列为非常数数列. (1)求数列通项; (2)设,的前项和记为,求证:. 【解析】(1)因为,,成等比数列, 由所以, 即, 解得得或(舍去), 所以. (2)由(1)知:, , , . 【点睛】 本题主要考查等比中项,等差数列的通项公式和前n项和公式以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 22.【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】已知各项都为正数的等比数列,,. (1)求数列的通项公式; (2)设,,求. 【解析】 (1)设各项都为正数的等比数列的公比为,则, 因为,, 所以,解得,, 所以, (2)由(1)知,,故, 当时,; 当时,, 故. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前项和公式、对数运算等知识点,等差数列的前项和公式为,考查计算能力,体现了基础性与综合性,是中档题. 23.【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列满足:是公比为2的等比数列,是公差为1的等差数列. (I)求的值; (Ⅱ)试求数列的前n项和. 【解析】(Ⅰ)方法一:构成公比为2的等比数列 又构成公差为1的等差数列 ,解得 方法二:构成公比为2的等比数列, .① 又构成公差为1的等差数列, ② 由①②解得: (Ⅱ) 两式作差可得: , . 24.【四川省泸县第一中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题】已知正项等比数列的前项和为, , ,数列满足,且. (I)求数列的通项公式; (II)求数列的前项和. 【解析】(Ⅰ)根据题意,设的公比为,所以解得 又, 所以 . (Ⅱ)因为, 所以. 25.【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列的前项和为,且满足,. (I)求的通项公式; (Ⅱ)若,数列的前项和为,求证:. 【解析】(I)当时,由,得; 当时,,两式相减得, 即,又, 故恒成立, 则数列是公比为的等比数列,可得. (Ⅱ)由(I)得, 则, 则 . 故 26.【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】已知数列中,,,. (1)求证:数列是等比数列; (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】(1)证明:因为 所以, 又因为,则, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列. (2)由(1)知,所以, 所以 27.【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】已知点是函数的图象上一点,数列的前项和是. (1)求数列的通项公式; (2)若,求数列的前项和. 【解析】 (1)把点代入函数得,所以, 所以数列的前项和是. 当时,; 当时,, 所以; (2)由,得,所以 ,① .② 由①-②得:, 所以. 【点睛】 本题主要考查了法求通项公式,即,运用错位相减法求和,求和时应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解,属于中档题. 28.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】已知数列前项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求数列的前项和. 【解析】(1)当时,. 当时,. 而, 所以数列的通项公式为. (2)当时,,[来源:学科网] 当时,, 所以, 当时,, 当时, . 又,符合, 所以.查看更多