2018届高三数学（理）一轮复习数列考点专练

2018届高三数学（理）一轮复习数列考点专练

板块命题点专练（八） 命题点一 数列的概念及表示 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1．(2014·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为 d，若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 解析：选 C ∵数列{2a1an}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等 式右边为关于 n的一次函数，∴a1d<0． 2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {an}满足 an＋1＝ 1 1－an ，a8＝2，则 a1 ＝________． 解析：将 a8＝2代入 an＋1＝ 1 1－an ，可求得 a7＝ 1 2 ；再将 a7＝ 1 2 代入 an＋1＝ 1 1－an ，可求得 a6＝－1；再将 a6＝－1 代入 an＋1＝ 1 1－an ，可求得 a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期 数列，且周期为 3，所以 a1＝a7＝ 1 2 ． 答案： 1 2 3．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC＝2 2．过点 A作 BC 的垂线，垂足为 A1 ；过点 A1作 AC的 垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ；…，依此 类推．设 BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7 ＝________． 解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形 ABC中，斜边 BC＝2 2，所以 AB＝AC ＝a1＝2，AA1＝a2＝ 2，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1× 2 2 6＝ 1 4 ． 法二：求通项：等腰直角三角形 ABC中，斜边 BC＝2 2，所以 AB＝AC＝a1＝2，AA1 ＝a2＝ 2，…，An－1An＝an＋1＝sinπ 4 ·an＝ 2 2 an＝2× 2 2 n，故 a7＝2× 2 2 6＝ 1 4 ． 答案： 1 4 命题点二 等差数列与等比数列 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前 9项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( ) A．100 B．99 C．98 D．97 解析：选 C 法一：∵{an}是等差数列，设其公差为 d， ∴S9＝ 9 2 (a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3． 又∵a10＝8，∴ a1＋4d＝3， a1＋9d＝8， ∴ a1＝－1， d＝1. ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98．故选 C． 法二：∵{an}是等差数列， ∴S9＝ 9 2 (a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3． 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差 d′＝a10－a5＝8－3＝5． 故 a100＝a5＋(20－1)×5＝98．故选 C． 2．(2015·全国卷Ⅱ)设 Sn是等差数列{an}的前 n项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝( ) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：选 A ∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3， ∴a3＝1， ∴S5＝ 5a1＋a5 2 ＝5a3＝5，故选 A． 3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7＝( ) A．21 B．42 C．63 D．84 解析：选 B ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21， ∴3＋3q2＋3q4＝21． ∴1＋q2＋q4＝7，解得 q2＝2或 q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42． 4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1的等差数列，Sn为{an}的前 n项和，若 S8＝4S4， 则 a10＝( ) A．17 2 B．19 2 C．10 D．12 解析：选 B ∵{an}的公差为 1， ∴S8＝8a1＋ 8×8－1 2 ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6． 又∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝ 1 2 ， ∴a10＝a1＋9d＝1 2 ＋9＝19 2 ． 5．(2015·全国卷Ⅱ)设 Sn是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝ ________． 解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1． ∵Sn≠0，∴ 1 Sn － 1 Sn＋1 ＝1，即 1 Sn＋1 － 1 Sn ＝－1． 又 1 S1 ＝－1，∴ 1 Sn 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴ 1 Sn ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－ 1 n ． 答案：－ 1 n 6．(2016·全国乙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1 ＝0． (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)由题意可得 a2＝ 1 2 ，a3＝ 1 4 ． (2)由 a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因此{an}的各项都为正数，所以 an＋1 an ＝ 1 2 ． 故{an}是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列，因此 an＝ 1 2n－1 ． 7．(2016·全国甲卷)Sn为等差数列{an}的前 n项和，且 a1＝1，S7＝28．记 bn＝[lg an]， 其中[x]表示不超过 x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg 99]＝1． (1)求 b1，b11，b101； (2)求数列{bn}的前 1 000项和． 解：(1)设数列{an}的公差为 d，由已知得 7＋21d＝28，解得 d＝1． 所以数列{an}的通项公式为 an＝n． b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2． (2)因为 bn＝ 0，1≤n＜10， 1，10≤n＜100， 2，100≤n＜1 000， 3，n＝1 000， 所以数列{bn}的前 1 000项和为 1×90＋2×900＋3×1＝1 893． 8．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前 n项和．已知 an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3． (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 anan＋1 ，求数列{bn}的前 n项和． 解：(1)由 a2n＋2an＝4Sn＋3，① 可知 a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3．② ②－①，得 a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即 2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由 an>0，得 an＋1－an＝2． 又 a21＋2a1＝4a1＋3，解得 a1＝－1(舍去)或 a1＝3． 所以{an}是首项为 3，公差为 2的等差数列， 通项公式为 an＝2n＋1． (2)由 an＝2n＋1可知 bn＝ 1 anan＋1 ＝ 1 2n＋12n＋3 ＝ 1 2 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ． 设数列{bn}的前 n项和为 Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ 1 2 1 3 － 1 5 ＋ 1 5 － 1 7 ＋…＋ 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ＝ n 32n＋3 ． 9．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其 中λ为常数． (1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1， 则 an＋1an＋2＝λSn＋1－1． 两式相减得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1． 由于 an＋1≠0，所以 an＋2－an＝λ． (2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1． 由(1)知，a3＝λ＋1． 令 2a2＝a1＋a3，解得λ＝4． 故 an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n} 是首项为 3，公差为 4的等差数列，a2n＝4n－1． 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2． 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 命题点三 数列的综合应用 命题指数：☆☆☆ 难度：高、中 题型：解答题 1．(2016·天津高考)已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且 1 a1 － 1 a2 ＝ 2 a3 ，S6＝ 63． (1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的 n∈N*，bn是 log2an和 log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb2n}的前 2n 项 和． 解：(1)设数列{an}的公比为 q． 由已知，有 1 a1 － 1 a1q ＝ 2 a1q2 ， 解得 q＝2或 q＝－1． 又由 S6＝a1· 1－q6 1－q ＝63，知 q≠－1， 所以 a1· 1－26 1－2 ＝63，得 a1＝1． 所以 an＝2n－1． (2)由题意，得 bn＝ 1 2 (log2an＋log2an＋1) ＝ 1 2 (log22n－1＋log22n)＝n－1 2 ， 即{bn}是首项为 1 2 ，公差为 1的等差数列． 设数列{(－1)nb2n}的前 n项和为 Tn， 则 T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝ 2nb1＋b2n 2 ＝2n2． 2．(2016·四川高考)已知数列{an}的首项为 1，Sn为数列{an}的前 n项和，Sn＋1＝qSn＋1， 其中 q＞0，n∈N*． (1)若 a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； (2)设双曲线 x2－y2 a2n ＝1的离心率为 en，且 e2＝2，求 e21＋e22＋…＋e2n． 解：(1)由已知 Sn＋1＝qSn＋1，得 Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到 an＋2＝qan＋1，n≥1．又 由 S2＝qS1＋1得到 a2＝qa1，故 an＋1＝qan对所有 n≥1，n∈N*都成立． 所以数列{an}是首项为 1，公比为 q的等比数列． 从而 an＝qn－1． 由 a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得 2a3＝a2＋a2＋a3，所以 a3＝2a2，故 q＝2．所以 an ＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)可知 an＝qn－1， 所以双曲线 x2－y2 a2n ＝1的离心率 en＝ 1＋a2n＝ 1＋q2n－1． 由 e2＝ 1＋q2＝2，解得 q＝ 3， 所以 e21＋e22＋…＋e2n ＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)] ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)] ＝n＋q2n－1 q2－1 ＝n＋1 2 (3n－1)．