2018届高三数学一轮复习： 第3章 第6节 课时分层训练22

2018届高三数学一轮复习： 第3章 第6节 课时分层训练22

课时分层训练(二十二)　‎ 正弦定理和余弦定理 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ ‎ 【导学号：01772130】‎ A．锐角三角形　　　　 B.直角三角形 C．钝角三角形 D.不确定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin‎2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，‎ 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝.]‎ ‎2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) ‎ ‎【导学号：01772131】‎ A．有一解 B.有两解 C．无解 D.有解但解的个数不确定 C　[由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin B＝＝＝＞1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]‎ ‎3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)‎ A．1　　　 B.‎2　‎　‎ C.3　　　 D.4‎ A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－‎2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋‎3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]‎ ‎4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C. D. B　[依题意得cos C＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于absin C＝××＝，故选B.]‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝‎ ‎(　　)‎ A. B. C.－ D.－ C　[法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos ∠BAC＝＝＝－，故选C.‎ 法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，‎ 在Rt△ADC中，AC＝BC，sin ∠DAC＝，‎ cos ∠DAC＝，又因为∠B＝，‎ 所以cos ∠BAC＝cos＝cos ∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·郴州模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝__________.‎ 　[由正弦定理可得＝，所以sin B＝，再由b＜a，可得B为锐角，‎ 所以cos B＝＝.]‎ ‎7．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．‎ 图361‎ 　[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，‎ ‎∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcos∠BAD，‎ ‎∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，‎ ‎∴BD＝.]‎ ‎8．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则△ABC的面积为________. ‎ ‎【导学号：01772132】‎ 　[由sin C＝cos C得tan C＝＞0，所以C＝.‎ 根据正弦定理可得＝，即＝＝2，‎ 所以sin A＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，‎ 故S△ABC＝××1＝.]‎ 三、解答题 ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝. ‎ ‎【导学号：01772133】‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求sin C的值．‎ ‎[解]　(1)因为b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.5分 ‎(2)因为cos B＝，所以sin B＝，7分 由正弦定理＝，得＝，‎ 所以sin C＝.12分 ‎10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sin Bsin C＋5sin‎2C－5sin‎2A＝0，‎ 即sin2B＋sin2C－sin2A＝.3分 根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，‎ 由余弦定理得cos A＝＝.‎ ‎∵A是△ABC的内角，‎ ‎∴sin A＝＝.6分 ‎(2)由(1)知b2＋c2－a2＝，‎ ‎∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.8分 又∵a＝2，∴bc≤10.‎ ‎∵△ABC的面积S＝bcsin A＝≤4，‎ ‎∴△ABC的面积S的最大值为4.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)‎ A. B. C. D. C　[∵b＝c，∴B＝C.‎ 又由A＋B＋C＝π得B＝－.‎ 由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得 sin‎2A＝2sin2B(1－sin A)，‎ 即sin2A＝2sin2(1－sin A)，‎ 即sin2A＝2cos2(1－sin A)，‎ 即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，‎ 整理得cos2＝0，‎ 即cos2(cos A－sin A)＝0.‎ ‎∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos ≠0，‎ ‎∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.]‎ ‎2．(2014·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ 　[∵＝＝＝2R，a＝2，‎ 又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为 ‎(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，‎ ‎∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴＝＝＝cos A，∴∠A＝60°.‎ ‎∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，‎ ‎∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.]‎ ‎3．在△ABC中，cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根．‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为2x2－3x－2＝0，所以x1＝2，x2＝－.2分 又因为cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，‎ 所以cos C＝－，所以C＝.5分 ‎(2)由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2ab·＝(a＋b)2－ab，7分 则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，‎ 当a＝5时，c最小且c＝＝5，此时a＋b＋c＝10＋5，‎ 所以△ABC周长的最小值为10＋5. 12分