高考数学专题复习练习：第四章 4_6正弦定理、余弦定理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
【知识拓展】
1．三角形内角和定理：
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )
(5)在△ABC中，＝.( √ )
(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.
2．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )
A．5 B．10
C. D．5
答案 C
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得＝，即＝，
∴c＝.
3．在△ABC中，若sin B·sin C＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案 D
解析 sin B·sin C＝，
∴2sin B·sin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)，
∴cos(B－C)＝1，
∵B、C为三角形的内角，∴B＝C，
又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，
综上，△ABC为等腰直角三角形．
4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .
答案
解析 因为3sin A＝5sin B，
所以由正弦定理可得3a＝5b.
因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.
令a＝5，b＝3，c＝7，
则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得49＝25＋9－2×3×5cos C，
解得cos C＝－，所以C＝.
5．(2016·济南模拟)在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为 ．
答案 4
解析 ∵cos C＝，00)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C.
②解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B.
故tan B＝＝4.
思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于( )
A．2 B．2
C. D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，则b等于( )
A．6 B．4
C．2 D．1
答案 (1)D (2)C
解析 (1)(边化角)
由asin Asin B＋bcos2A＝a及正弦定理，得
sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B＝sin A，所以＝＝.故选D.
(2)(角化边)
由题意，得sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C，
即sin Acos C＝3cos Asin C，
由正弦、余弦定理，得
a·＝3c·，
整理得2(a2－c2)＝b2，①
又a2－c2＝b，②
联立①②得b＝2，故选C.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 (2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解 由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
思维升华 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
答案 C
解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，
∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 判断三角形的形状
例3 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
引申探究
1．例3(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Bsin A，
∴sin(A－B)＝0，
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又01.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据正弦定理＝＝＝2R，
得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cos B＝＝，
故B＝，故选C.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
答案 B
解析 ∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，
A＝π－(＋)＝π，
∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
7．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .
答案
解析 在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为 ．
答案 或
解析 由余弦定理，得＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为 ．
答案 8
解析 ∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝，
S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24，
又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝52－2×24×＝64，
∴a＝8.
*10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为 ．
答案 12
解析 由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0
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