- 2021-06-12 发布 |
- 37.5 KB |
- 6页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
高考数学专题复习练习:考点规范练30
考点规范练30 等比数列及其前n项和 考点规范练B册第19页 基础巩固 1.已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=( ) A.2 B.1 C.12 D.18 答案C 解析∵a3a5=4(a4-1),∴a42=4(a4-1),解得a4=2. 又a4=a1q3,且a1=14,∴q=2. ∴a2=a1q=12. 2.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( ) A.212 B.93 C.±93 D.35 答案B 解析∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3. 又a1·a49=a2·a48=a252=3,a25>0, ∴a1·a2·a25·a48·a49=a255=93.选B. 3.设首项为1,公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 答案D 解析Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=1-23an1-23=3-2an,故选D. 4.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 答案D 解析∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8. 联立a4+a7=2,a4a7=-8,可解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4, 当a4=4,a7=-2时,q3=-12, 故a1+a10=a4q3+a7q3=-7; 当a4=-2,a7=4时,q3=-2, 故a1+a10=a4q3+a7q3=-7. 综上可知,a1+a10=-7. 5.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1)2 D.n(n-1)2 答案A 解析∵a2,a4,a8成等比数列, ∴a42=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14), 解得a1=2. ∴Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A. 6.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 . 答案-12 解析由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+4×32×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-12. 7.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= . 答案1 121 解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1, 所以a1=1,a2=3. 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2), 得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2). 又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列. 所以S5=1-351-3=121. 8.已知数列{an}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则1a12+1a22+…+1an2= .〚导学号74920488〛 答案131-14n 解析∵{an}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6, ∴4a1-a1=6,即a1=2. ∴an=2·2n-1=2n. ∴1an2=14n,即数列1an2是首项为14,公比为14的等比数列. ∴1a12+1a22+…+1an2=141-14n1-14=131-14n. 9.(2016全国乙卷,文17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前n项和. 解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2. 所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3, 因此{bn}是首项为1,公比为13的等比数列. 记{bn}的前n项和为Sn, 则Sn=1-13n1-13=32-12×3n-1. 10.(2016东北三省四市二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列{bn}是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解(1)设等差数列{an}的公差为d. ∵S4=4(a3+1),3a3=5a4, ∴4a1+6d=4(a1+2d+1),3a1+6d=5a1+15d,解得a1=9,d=-2. ∴an=11-2n. 设数列{bn}的公比为q. ∵b1b2=b3,2b1=a5, ∴b12q=b1q2,2b1=1,解得b1=12,q=12.∴bn=12n. (2)由(1)知,Sn=10n-n2. 由an=11-2n≤0可知n≥5.5, 即a1>0,a2>0,…,a5>0,a6<0,a7<0,…,an<0. 故当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2; 当n≥6时,Tn=2S5-Sn=n2-10n+50. 于是Tn=10n-n2,n≤5,n2-10n+50,n≥6. 11.在数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=1+kan(k≠0,且k≠1). (1)求an; (2)当k=-1时,求a12+a22+…+an2的值. 解(1)∵S1=a1=1+ka1,∴a1=11-k. ∴an=11-k·kk-1n-1=-kn-1(k-1)n. (2)∵在数列{an}中,a1=11-k,q=kk-1, ∴{an2}是首项为11-k2,公比为kk-12的等比数列. 当k=-1时,等比数列{an2}的首项为14,公比为14,∴a12+a22+…+an2=141-14n1-14=131-14n. 能力提升 12.(2016河南洛阳二模)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9〚导学号74920489〛 答案D 解析∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q. ∵p>0,q>0,∴a>0,b>0. 又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, ∴2b=a-2,ab=4①或2a=b-2,ab=4②. 解①得a=4,b=1;解②得a=1,b=4. ∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D. 13.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 .〚导学号74920490〛 答案64 解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105, 解得q=12,a1=8, 所以a1a2…an=8n·121+2+…+(n-1)=2-12n2+7n2,抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为n=-722×-12=3.5, 又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为2-12×32+7×32=26=64. 14.(2016浙江,文17)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式an; (2)求数列{|an-n-2|}的前n项和. 解(1)由题意得a1+a2=4,a2=2a1+1,则a1=1,a2=3. 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*. (2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1. 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n≥3时,Tn=3+9(1-3n-2)1-3-(n+7)(n-2)2=3n-n2-5n+112, 所以Tn=2,n=1,3n-n2-5n+112,n≥2,n∈N*.〚导学号74920491〛 高考预测 15.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明∵an+1=an+6an-1(n≥2), ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15, ∴an+2an-1≠0(n≥2),∴an+1+2anan+2an-1=3(n≥2), ∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)解由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n, 则an+1=-2an+5×3n, ∴an+1-3n+1=-2(an-3n). 又a1-3=2,∴an-3n≠0, ∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列. ∴an-3n=2×(-2)n-1, 即an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.〚导学号74920492〛查看更多