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文档介绍
浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节函数的奇偶性与周期性含解析
第4节 函数的奇偶性与周期性 考试要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [常用结论与易错提醒] 1.函数奇偶性的三个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a; (2)若f(x+a)=,则T=2a; (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). 3.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.( ) (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不是偶函数,(1)错. (2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( ) A.- B. C. D.- 解析 依题意b=0,且2a=-(a-1),∴a=,则a+b=. 答案 B 3.(2019·北京东城区二模)下列函数中既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x3 B.y=cos x C.y=ex D.y=|x|+1 解析 y=x3是奇函数,故A排除;y=ex是非奇非偶函数,C排除;y=cos x是偶函数,但在(0,+∞)上有增也有减,B排除,只有D正确. 答案 D 4.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 020)+f(2 019)=( ) A.-2 020 B.0 C.1 D.2 020 解析 因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(-1)=f(1)=-f(1),所以f(1)=0,且f(0)=0,而f(2 020)=f(2×1 010+0)=f(0)=0,f(2 019)=f(2×1 009+1)=f(1)=0,故选B. 答案 B 5.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________. 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1). 又f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(1)=f(3).∴f(-1)=3. 答案 3 6.设a>0且a≠1,函数f(x)=为奇函数,则a=________,g(f(2))=________. 解析 ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,即a0+1-2=0,∴a=2;当x>0时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-(2-x+1-2)=2-2-x+1,即g(x)=2-2-x+1,∴f(x)=f(2)=2-2-2+1=2-=>0, ∴g(f(2))=g=2-2-+1=2-2-=2-. 答案 2 2- 考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)= 解 (1)由得x2=3,解得x=±, 即函数f(x)的定义域为{-,}, 从而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称. ∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=. 又∵f(-x)==-=-f(x), ∴函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ∵当x<0时,-x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x); 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数. 规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 【训练1】 (1)设函数f(x)=+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性( ) A.与a无关,且与b无关 B.与a有关,且与b有关 C.与a有关,但与b无关 D.与a无关,但与b有关 (2)(2019·北京卷)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)函数f(x)=+b的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=+b=+b.当b=1时,易知函数f(x)为奇函数,当b≠1时,函数f(x)为非奇非偶函数,所以函数f(x)的奇偶性与a无关,但与b有关,故选D. (2)∵f(x)=cos x+bsin x为偶函数,∴对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x), 即cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x,∴2bsin x=0.由x的任意性得b=0. 故f(x)为偶函数⇒b=0.必要性成立. 反过来,若b=0,则f(x)=cos x是偶函数.充分性成立. ∴“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件. 故选C. 答案 (1)D (2)C 考点二 函数奇偶性的应用 【例2】 (1)(一题多解)(2019·浙江新高考仿真卷三)已知函数f(x)=,则f(0)=________,f(log23)+f=________. (2)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax,若f(ln 2)=8,则a=________. 解析 (1)法一 f(0)==0,f(log23)+f=+=+=0. 法二 函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)===-=-f(x),所以函数f(x)=为奇函数,又因为log23=-log2,所以f(0)==0,f(log23)+f=0. (2)当x>0,-x<0,f(-x)=-e-ax. 因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=e-ax, 所以f(ln 2)=e-aln 2=(eln 2)-a=2-a=8. 解得a=-3. 答案 (1)0 0 (2)-3 规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住在已知区间上的解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式或函数值. 【训练2】 (1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 (2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-2(x>0),若f(a-2)≥0,则a的取值范围为( ) A.[2-,2]∪[2+,+∞) B.[2-,2+] C.[2-,2] D.[2+,+∞) 解析 (1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. (2)函数f(x)的图象如图所示,由题可知f(0)=0且f()=0,则-≤a-2≤0或a-2≥,解得2-≤a≤2或a≥2+,故选A. 答案 (1)C (2)A 考点三 函数的周期性及其应用 【例3】 (1)(2020·杭州质检)已知函数f(x)(x∈R)的周期为T(T>0),且在(0,T)上单调,则( ) A.f(x2)是周期函数,且在(0,)上单调 B.f(x2)不是周期函数,且在(0,)上单调 C.f(x2)是周期函数,且在(0,T2)上单调 D.f(x2)不是周期函数,且在(0,T2)上单调 (2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 019)=__________. 解析 (1)因为f[(x+A)2]=f(x2+2Ax+A2),显然2Ax+A2不是与x无关的常数,所以函数f(x2)不是周期函数,当x∈(0,)时,x2∈(0,T),因为函数f(x)在(0,T)上单调,所以函数f(x2)在(0,)上单调,故选B. (2)∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期T=2. 又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2, ∴f(0)=0,f(1)=1,f(0)+f(1)=1. ∴f(0)+f(1)=f(2)+f(3)=f(4)+f(5)=…= f(2 018)+f(2 019)=1, ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 019)=1 010. 答案 (1)B (2)1 010 规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间. (2)若f(x+a)=-f(x)(a是常数,且a≠0),则2a为函数f(x)的一个周期. 【训练3】 (1)若函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为________. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=______. 解析 (1)因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(-2,2]上,f(x)=所以f(f(15))=f(f(-1))=f=cos =. (2)f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x), 故函数的周期为4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意得f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 答案 (1) (2)2.5 考点四 函数性质的综合运用 【例4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 017)+f(2 019)的值为( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 (2)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m. 则M+m=________. 解析 (1)由题意知g(x)是定义在R上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x). 由g(x)=f(x-1),得g(-x)=f(-x-1),∴f(-x-1)=-f(x-1). 由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x), ∴f(-x-1)=f[-(x+1)]=f(x+1),∴f(x+1)= -f(x-1),即f(x-1)+f(x+1)=0. ∴f(2 017)+f(2 019)=f(2 018-1)+f(2 018+1)=0. (2)f(x)==1+, 令g(x)=,则g(-x)=-g(x),又x∈R. ∴g(x)为奇函数, 由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0, 故M+m=2. 答案 (1)C (2)2 规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. 【训练4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,若实数a满足f(log3 a)+f(loga)≥2f(1),则a的取值范围是( ) A.(0,3] B. C. D.[1,3] (2)(2019·浙江新高考仿真卷三)已知偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=ax2-bx+c,a,b,c∈N*.若函数f(x)在[-100,100]上有400个零点,则a+b+c的最小值为( ) A.5 B.8 C.11 D.12 解析 (1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故f(x)在(-∞,0]上单调递增.因为f(log3 a)+f(log a)≥2f(1),所以f(log3 a)+f(-log3 a)=2f(log3 a)≥2f(1),即f(log3 a)≥f(1)=f(-1),所以-1≤log3 a≤1,解得≤a≤3,故选C. (2)由f(1-x)=f(1+x),得f(x+2)=f(-x)=f(x),则函数f(x)为周期为2的周期函数,则函数f(x)在[-100,100]上有400个零点等价于函数f(x)在[0,1]上有两个不同的零点,又因为a,b,c∈N*,所以 即所以要使a+b+c取得最小值,不妨取c=1,不等式组化为以a为横轴,b为纵轴建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示,由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5),此时a=b=5,所以a+b+c的最小值为11,故选C. 答案 (1)C (2)C 基础巩固题组 一、选择题 1.函数f(x)=ln (a,b∈R,且ab≠0)的奇偶性( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,但与b有关 D.与a无关,且与b无关 解析 易知f(x)的定义域关于原点对称,因为f(-x)=ln =-ln =-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其奇偶性与a,b均无关,故选D. 答案 D 2.(2019·北京顺义区期末)已知函数f(x)=2-x-2x,则f(x)( ) A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 解析 f(x)=-2x,f(-x)=2x-=-f(x), ∴f(x)为奇函数, 又∵函数y=与y=-2x都是减函数, 两个减函数之和仍为减函数. 答案 D 3.(2019·北京西城区综合练)若f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x+2)=-f(x),则( ) A.f(x)的值域为R B.f(x)为周期函数,且6为其一个周期 C.f(x)的图像关于x=2对称 D.函数f(x)的零点有无穷多个 解析 f(x)是定义域为R的奇函数,则f(-x)=-f(x),f(0)=0, 又f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是以4为周期的函数,f(4k)=f(0)=0(k∈Z), 所以函数f(x)的零点有无穷多个; 因为f(x+2)=-f(x),f[(x+1)+1]=f(-x),令t=1+x,则f(t+1)=f(1-t), 即f(x+1)=f(1-x),所以f(x)的图象关于x=1对称, 由题意无法求出f(x)的值域. 答案 D 4.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x ),当x>时,f=f.则f(6)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析 当x>时,由f=f, 得f(x)=f(x+1),∴f(6)=f(1), 又由题意知f(1)=-f(-1),且f(-1)=(-1)3-1=-2, 因此f(6)=-f(-1)=2. 答案 D 5.若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即=-,整理得(1-a)(2x+1)=0, ∴a=1,∴f(x)>3,即为>3,等价于(2x-2)(2x-1)<0, ∴1<2x<2,∴0<x<1. 答案 C 6.(2019·浙江名师预测卷三)下列函数中,在[-1,1]上的值域是[-2,2]的是( ) A.f(x)=2sin(x3-3x) B.f(x)=sin3x-3sin x C.f(x)=cos3x-3cos x D.f(x)=2cos(x3-3x) 解析 因为y=u3-3u是奇函数且在[-1,1]上单调递减,y=sin x为奇函数且在上单调递增.A中,x3-3x∈[-2,2],所以2sin(x3-3x)∈[-2,2],故A正确;B中,sin x∈[-sin 1,sin 1],因为1>sin 1,所以sin3x-3sin x的值域中不会有-2,故B错误;C中,cos x∈[cos 1,1],由0<cos 1知0∉[cos 1,1],所以f(x)=cos3x-3cos x的值域中不包含0,故C错误;D中,x3-3x∈[-2,2],所以f(x)=2cos(x3-3x)的值域为[2cos 2,2],故D错误.故选A. 答案 A 7.已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为( ) A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2) 解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数, ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), ∵f(1)<1,f(5)=,∴<1,即<0, 解得-1x2 B.x1+x2=0 C.x1查看更多