【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第9讲对数与对数函数学案
第9讲 对数与对数函数
1.对数
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫作以a为底N的 ,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式
性质
底数的限制:a>0,且a≠1
对数式与指数式的互化:ax=N⇔
负数和零没有
loga1=
logaa=1
对数恒等式:alogaN=
运算法则
loga(M·N)=
a>0,且a≠1,
M>0,N>0
logaMN=
logaMn= (n∈R)
换底公式
换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
推论:logambn= ,logab= 1logba
2.对数函数的概念、图像与性质
概念
函数y=logax(a>0,a≠1)叫作 函数
底数
a>1
0
0,且a≠1)与对数函数 互为反函数,它们的图像关于直线 对称.
常用结论
1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.
2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.
题组一 常识题
1.[教材改编] 化简logablogbclogca的结果是 .
2.[教材改编] 函数f(x)=log2(2-x)的定义域是 .
3.[教材改编] 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)= .
4.[教材改编] 函数y=log12(x2-4x+5)的单调递增区间是 .
题组二 常错题
◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误.
5.有下列结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10;④若log22=x,则x=1;⑤若logmn·log3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是 .
6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则xy= .
7.设a=14,b=log985,c=log83,则a,b,c的大小关系是 .
8.若函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a= .
探究点一 对数式的化简与求值
例1 (1)[2018·宿州质检] 已知m>0,n>0,log2(3m)+log2n=log2(2m2+n),则log2m-log4n的值为 ( )
A.-1 B.1
C.-1或0 D.1或0
(2)设2x=5y=m,且1x+1y=2,则m= .
[总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.
(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
变式题 (1)[2018·昆明一中模拟] 设x,y为正数,且3x=4y,当3x=py时,p的值为 ( )
A.log34 B.log43
C.6log32 D.log32
(2)计算:lg 32+log416+6lg12-lg 5= .
探究点二 对数函数的图像及应用
例2 (1)函数f(x)=loga|x|+1(0b>c>0,则f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小关系是 ( )
A.f(a)a>f(b)b>f(c)c
B.f(c)c>f(b)b>f(a)a
C.f(b)b>f(a)a>f(c)c
D.f(a)a>f(c)c>f(b)b
探究点三 解决与对数函数性质有关的问题
微点1 比较大小
例3 (1)[2018·武汉4月调研] 若实数a,b满足a>b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,则m,n,l的大小关系为 ( )
A.m>l>n B.l>n>m
C.n>l>m D.l>m>n
(2)[2018·长沙雅礼中学期末] 已知a=ln12,b=log1312,则( )
A.a+b1>log34a,则a的取值范围是 ( )
A.23,1 B.23,34
C.34,1 D.0,23
(2)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1,则不等式loga(3x+2)b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.
微点3 对数函数性质的综合问题
例5 (1)[2018·丹东二模] 若函数f(x)=logax,x>3,log1ax+2,00,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.对数 x=logaN 对数 0 N logaM+logaN logaM-logaN nlogaM nmlogab
2.对数 (0,+∞) R (1,0) 增 减
3.y=logax(a>0,且a≠1) y=x
对点演练
1.1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.
2.(-∞,2) [解析] 由2-x>0,解得x<2,即函数f(x)的定义域为(-∞,2).
3.1 [解析] 函数f(x)=log2x,所以f(2)=1.
4.(-∞,2) [解析] 因为0<12<1,所以y=log12x单调递减,而函数y=x2-4x+5>0恒成立,且单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=log12(x2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2).
5.①②③④⑤ [解析] ①lg 10=1,则lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③底的对数等于1,则x=10;④底的对数等于1;⑤logmn=lgnlgm,log3m=lgmlg3,则lgnlg3=2,即log3n=2,故n=9.
6.4 [解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y不符合题意,当x=4y时,得xy=4.
7.c>a>b [解析] a=14=log949=log93log985=b,所以c>a>b.
8.2或12 [解析] 分两种情况讨论:(1)当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;(2)当00时,f(x)=loga|x|+1(01或x<-1},且f(x)是偶函数,故排除C,D;当x>1时,函数f(x)=ln(x-1)是增函数,故排除A.故选B.
(2)由题意可得,f(a)a,f(b)b,f(c)c可分别看作函数f(x)=log2(x+1)图像上的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当a>b>c>0时,f(c)c>f(b)b>f(a)a.故选B.
例3 [思路点拨] (1)推导出0=loga1b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,
∴0=loga1n=(logab)2,
∴l>n>m.故选B.
(2)由题得a=ln12log131=0,所以ab<0.
又a+b=ln12+log1312=-ln 2+ln2ln3=ln 21ln3-1=ln 2·1-ln3ln3<0,
则ab-(a+b)=ab-a-b=ln12·log1312-ln12-log1312=-ln 2·ln2ln3+ln 2-ln2ln3=ln 2-ln2ln3+1-1ln3=ln 2·ln3-ln2-1ln3=ln 2·ln32eln3<0,所以ab1与log34a<1,其交集即为不等式的解集;(2)先根据指数不等式确定a的范围,然后根据同底的对数不等式求解,并注意真数的取值.
(1)C (2)34,85 [解析] (1)根据对数函数的性质,由loga23>1,可得2334.综上可得344a+1,∴08-5x,3x+2>0,8-5x>0,解得x∈34,85.
例5 [思路点拨] (1)由分段函数在两段上的单调性,结合f(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x2-ax+3a,则由题意可得函数t=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0,从而得解.
(1)C (2)-41,否则函数无最小值,
所以当x>3时,f(x)>loga3,
当00,
故有a2≤2,4-2a+3a>0,解得-4log0.40.4=1,
c=log80.40,可得x2-2x<0,解得0b>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
[解析] D a=18118>180=1,b=log20172018=12log20172018,∵log20172018∈(1,2),∴b∈12,1.c=log20182017=12log20182017,∵log20182017∈(0,1),∴c∈0,12,∴a>b>c.
例3 [配合例5使用] 已知函数f(x)=lg5x+45x+m的值域是R,则m的取值范围是 ( )
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
[解析] D 令t=5x+45x+m,因为f(x)的值域为R,所以t可取(0,+∞)内的每一个正数,所以4+m≤0,故m≤-4,故选D.
例4 [配合例5使用] 已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合.
解:(1)由题意得x+1>0,1-x>0,
∴-11时,0<1-x2<1,
即01,不等式无解.
综上,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合为{x|0
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