【数学】2020届一轮复习人教版（理）第11章第4讲直接证明与间接证明作业

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【数学】2020届一轮复习人教版（理）第11章第4讲直接证明与间接证明作业

A组　基础关 ‎1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)‎ A．三个内角都不大于60°‎ B．三个内角都大于60°‎ C．三个内角至多有一个大于60°‎ D．三个内角至多有两个大于60°‎ 答案　B 解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“三个内角都大于60°”．‎ ‎2．若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ 答案　C 解析　0⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.‎ ‎3．(2019·济宁模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.‎ 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)‎ A．②③ B．①②③‎ C．③ D．③④⑤‎ 答案　C 解析　对于①，当a＝0.7<1，b＝0.9<1时，a＋b＝1.6>1，故不能推出a，b中至少有一个大于1；对于②，当a＝b＝1时，a＋b＝2，故不能推出a，b中至少有一个大于1；对于③，假设a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，由此可得假设不成立，故a，b中至少有一个大于1；对于④，当a＝b＝－2＜1时，a2＋b2＝8＞2，故不能推出a，b中至少有一个大于1；对于⑤，当a＝b＝－2<1时，ab＝4>1，故不能推出a，b中至少有一个大于1.综上所述，可推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是③.‎ ‎4．(2018·郑州模拟)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则(　　)‎ A．P>Q B．P0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.‎ ‎5．在等比数列{an}中，a10，则11，‎ 此时，显然数列{an}是递增数列，‎ 若a1<0，则1>q>q2，即00，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 答案　A 解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b>c，则使＋≥恒成立的最大的正整数k为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 答案　C 解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，且a－c＝a－b＋b－c.‎ 又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c时等号成立．‎ ‎∴k≤＋，k≤4，故k的最大整数为4.故选C.‎ ‎8．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．‎ 答案　x≠－1且x≠1‎ 解析　根据反证法的定义，应首先假设命题的结论不成立，对本题而言即x≠－1且x≠1.‎ ‎9.－2与－的大小关系是________．‎ 答案　－2>－ 解析　假设－2>－，由分析法可得，‎ 要证－2>－，只需证＋>＋2，‎ 即证13＋2>13＋4，即>2.‎ 因为42>40，所以－2>－成立．‎ ‎10．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．‎ 答案　cn＋11，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.‎ 答案　a，b，c，d全是负数 解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎(2)若C＝，求证：5a＝3b.‎ 证明　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，‎ 因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ 解　(1)由已知得解得d＝2，‎ 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N*，‎ ‎∴q2－pr为有理数．而若2q－p－r≠0，则(2q－p－r)为无理数．‎ 显然(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0不成立．‎ ‎∴ ‎∴2＝q2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾．‎ ‎∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎
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