山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

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山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度第二学期期中自主练习 高一数学 一、单项选择题 ‎1.设复数(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.若向量,,与共线,则实数的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知正三角形的边长为,那么的直观图的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.在中,,,,则此三角形( )‎ A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定 ‎5.已知圆柱的高为,它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上,则圆柱的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在平行四边形中,点为对角线上靠近点的三等分点,连结并延长交于,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周十尺,高六尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为尺,米堆的高为尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知斛米的体积约为立方尺,圆周率约为,估算堆放的米约为( )‎ A.斛 B.斛 C.斛 D.斛 ‎8.如图,为了测量两点间的距离,选取同一平面上两点,已知,,,,,则的长为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选项题 ‎9.在复平面内,下列说法正确的是( )‎ A.若复数(为虚数单位),则 B.若复数满足,则 C.若复数,则为纯虚数的充要条件是 D.若复数满足,则复数对应点的集合是以原点为圆心,以为半径的圆 ‎10.下列叙述错误的是( )‎ A.已知直线和平面,若点,点且,,则 B.若三条直线两两相交,则三条直线确定一个平面 C.若直线不平行于平面,且,则内的所有直线与都不相交 D.若直线和不平行,且,,,则至少与中的一条相交 ‎11.下列结论正确的是( )‎ A.在中,若,则 B.在锐角三角形中,不等式恒成立 C.在中,若,,则为等腰直角三角形 D.在中,若,,三角形面积,则三角形外接圆半径为 ‎12.在中,分别是边中点,下列说法正确的是( )‎ A.‎ B.‎ C.若,则是在的投影向量 D.若点是线段上的动点,且满足,则的最大值为 三、填空题 ‎13.已知复数(为虚数单位),则______.‎ ‎14.已知向量夹角为,,,则______.‎ ‎15.在中,角所对的边分别为.若,且,则 的值为______.‎ ‎16.已知一个高为的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为的等边三角形,则三棱锥的表面积为______,若三棱锥内有一个体积为的球,则的最大值为______.‎ 四、解答题 ‎17.如图,正方体中,分别为,的中点.‎ ‎(1)求证:四点共面;‎ ‎(2)若,,与平面交于点,求证:三点共线.‎ ‎18.已知复数(为虚数单位,)为纯虚数,和是关于的方程的两个根.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若复数满足,说明在复平面内对应的点的集合是什么图形?并求该图形的面积.‎ ‎19.已知的内角的对边分别为,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,,求.‎ ‎20.如图,在三棱锥中,是高,,,.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求三棱锥的表面积.‎ ‎21.如图,四边形中,.‎ ‎(1)用表示;‎ ‎(2)若,点在上,,点在上,,,求.‎ ‎22.如图,在平面四边形中,,,.‎ ‎(1)若,,求的长;‎ ‎(2)若,,求.‎ ‎2019-2020学年度第二学期期中自主练习 高一数学参考答案 一、单选题 ABDB DCCA 二、多选题 ‎9.AD 10.BC 11.ABC 12.BCD 三、填空题 ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.;‎ 四、解答题 ‎17.(1)证明:连接,在正方体中,分别为,的中点,‎ ‎∴是的中位线,∴,‎ 又因为,∴‎ ‎∴四边形为平行四边形,即四点共面.‎ ‎(2)在正方体中,,,‎ ‎∴是平面与平面的交线,‎ 又因为交平面于点,‎ ‎∴是平面与平面的一个公共点.‎ 因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上,‎ ‎∴三点共线.‎ ‎18.解:(1)因为为纯虚数,‎ 所以,即,解得,‎ 此时,由韦达定理得,.‎ ‎(2)复数满足,即,‎ 不等式的解集是圆的外部(包括边界)所有点组成的集合,‎ 不等式的解集是圆的内部(包括边界)所有点组成的集合,‎ 所以所求点的集合是以原点为圆心,以和为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.‎ ‎.‎ ‎19.解:(1)因为,所以,‎ 因为,所以;‎ ‎(2)因为,‎ 由正弦定理可得,‎ 故,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 由正弦定理可得,.‎ ‎20.解:(1)因为是高,,,,‎ 所以;‎ ‎(2)因为是高,,,,‎ 所以,‎ ‎,‎ 是等腰三角形,,,‎ 所以,‎ 所以三棱锥的表面积为.‎ ‎21.解:(1)因为,‎ 所以;‎ ‎(2)由已知:,,得:,‎ 在中,,,∴,.‎ 在中,,,∴,‎ ‎∴‎ 又∵,∴,.‎ 在中,,,,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ ‎22.解:(1)在中,.‎ 在中,,所以,所以.‎ 在中,,所以;‎ ‎(2)设,因为,‎ 所以,,‎ 在中,由正弦定理得,‎ 化简得,代入,得,‎ 又为锐角,所以,即.‎
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