【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第2讲两条直线的位置关系作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第2讲两条直线的位置关系作业

对应学生用书[练案55理][练案51文]‎ 第二讲　两条直线的位置关系 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·临川一中)直线kx－y＋2＝4k，当k变化时，所有直线都通过定点(　C　)‎ A．(0,0)　　　 B．(2,1)　　　‎ C．(4,2)　　　 D．(2,4)‎ ‎[解析]　直线方程可化为k(x－4)－(y－2)＝0，所以直线恒过定点(4,2)．‎ ‎2．(2019·河北省五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　C　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析]　由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C．‎ ‎3．(2019·安徽合肥)直线l1：(a＋3)·x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　B　)‎ A．－4　　　 B．－2　　　‎ C．2　　　 D．4‎ ‎[解析]　∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)×1＋1×(a－1)＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线l1在x轴上的截距是－2，故选B．‎ ‎4．(2019·山东模拟)已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么x2＋y2的最小值为(　A　)‎ A．5　　　 B．10　　　‎ C．2　　　 D．2 ‎[解析]　本题考查点到直线的距离公式的应用．x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2可以看作直线2x＋y＋5＝0上的动点(x，y)与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，则x2＋y2的最小值为()2＝5，故选A．‎ ‎5．(2019·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　A　)‎ A．x－y＋1＝0　　　 B．x＋y＋1＝0‎ C．x－y－1＝0　　　 D．x＋y－1＝0‎ ‎[解析]　因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点(，)，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A．‎ ‎6．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　C　)‎ A．0　　　 B．1　　　‎ C．－2　　　 D．－1‎ ‎[解析]　因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是，所以＝，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C． ‎ ‎7．直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　B　)‎ A．3x－2y－4＝0　　　 B．x＝2或3x－2y－4＝0‎ C．x＝2或x－2y＝0　　　 D．x＝2或3x－2y－8＝0‎ ‎[解析]　由题意知，所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点或与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行时，由kPQ＝＝，得直线l的方程为y－1＝(x－2)，即3x－2y－4＝0.‎ ‎8．(2019·湖北天门期末)已知三点A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共线，则＋(a>0，b>0)的最小值为(　A　)‎ A．11　　　 B．10　　　‎ C．6　　　 D．4‎ ‎[解析]　根据题意，kAB＝kBC，∴2a＋b＝1，∴＋＝3＋＋＝3＋(＋)(2a＋b)＝3＋4＋＋≥7＋2＝11，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立．‎ 二、填空题 ‎9．已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是__0或1___.‎ ‎[解析]　因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.‎ ‎10．(2019·江苏启东质检)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__x＋2y－3＝0___.‎ ‎[解析]　当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－，此时，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.‎ ‎11．点P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离的最大值等于　3 　.‎ ‎[解析]　P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离为d＝＝3，由于≤1，所以d≤3，即距离的最大值等于3.‎ ‎12．(2019·洛阳模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝　 　.‎ ‎[解析]　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.‎ 三、解答题 ‎13．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．‎ ‎[解析]　依题意知，kAC＝－2，A(5,1)，‎ 所以lAC为2x＋y－11＝0，‎ 联立lAC，lCM得所以C(4,3)．‎ 设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ 所以，所以B(－1，－3)，所以kBC＝，‎ 所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，‎ 即6x－5y－9＝0.‎ ‎14．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A、C的坐标．‎ ‎[答案]　A(－1,0)，C(5，－6)‎ ‎[解析]　如图，设C(x0，y0)，由题意知l1∩l2＝A，则⇒ 即A(－1,0)．‎ 又∵l1⊥BC，∴kBC·kl1＝－1.∴kBC＝＝＝－2.‎ ‎∴由点斜式可得BC的直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.‎ 又∵l2：y＝0(x轴)是∠A的平分线，‎ ‎∴B关于l2的对称点B′在直线AC上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC的方程为x＋y＋1＝0.‎ 由C(x0，y0)在直线AC和BC上，可得⇒即C(5，－6)．‎ B组能力提升 ‎1．(2019·青海模拟)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　D　)‎ A．{－，}　　　 B．{，－}‎ C．{－，，}　　　 D．{－，－，}‎ ‎[解析]　因为三条直线不能围成三角形，所以有两直线平行或者三条直线交于同一点．若l1∥l3，则m＝；若l2∥l3，则m＝－；若三条直线交于同一点，由l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0得交点(－1，－)，将交点(－1，－)代入l3：mx－y－1＝0，解得m＝－.所以实数m的取值集合为{－，－，}，选D．‎ ‎2．已知00,2k2＋2>0，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故当k＝时，面积最小．‎ ‎3．若直线x＋2y－3＝0，kx＋y－1＝0，x轴的正半轴和y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，且k<0，则实数k的值为__－2___.‎ ‎[解析]　本题考查直线方程的简单应用．根据所围成的四边形有外接圆，且k<0，可知直线x＋2y－3＝0和kx＋y－1＝0互相垂直，因此－·(－k)＝－1，即k＝－2.‎ ‎4．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是　2 　.‎ ‎[解析]　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.‎ ‎5．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：‎ ‎(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；‎ ‎(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．‎ ‎[解析]　(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，‎ 则|PA|＝|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，‎ 则P0即为所求．‎ 易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，‎ 设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①‎ 又线段BB′的中点(，)在l上，故3a－b－6＝0.②‎ 由①②解得a＝3，b＝3，‎ 所以B′(3,3)．‎ 所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.‎ 由可得P0(2,5)．‎ ‎(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′(，)．‎ 连接AC′交l于P1，在l上另任取一点P，‎ 有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．‎ 又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，‎ 故由可得P1(，)．‎