专题20+平面向量的数量积及向量的应用-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过
点20 平面向量的数量积及向量的应用
1．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
一、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在
方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量和实数,则
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角： .
（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|.
【注】当与同向时,；当与反向时,.
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔.
三、平面向量的应用
1．向量在平面几何中常见的应用
已知.
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）
（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：
（其中为非零向量）
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
，
或（其中两点的坐标分别为）
（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.
2．向量在物理中常见的应用
（1）向量与力、速度、加速度及位移
力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.
（2）向量与功、动量
力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即
为和的夹角).
考向一 平面向量数量积的运算
平面向量数量积的类型及求法：
(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
典例1 已知向量，向量满足，的夹角为，则
A． B．2
C． D．
【答案】A
1．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，且，则的值是 ．
考向二 平面向量数量积的应用
平面向量数量积主要有两个应用：
(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
典例2 若,且,则向量与的夹角为________.
【答案】120°
2．已知向量,且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .
考向三 平面向量的模及其应用
平面向量的模及其应用的类型与解题策略：
(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：
①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．
(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.
典例3 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1−2e2，则|a|=________.
【答案】3
3．已知向量，与的夹角为.若向量满足，则的最大值是
A． B．
C．4 D．
考向四 平面向量的应用
1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：
(1)向量与平面几何综合问题的解法
①坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
②基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．
(2)用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：
(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．
(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．
(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．
(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.
3．用向量法解决物理问题的步骤如下：
(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.
4．常见的向量表示形式：
(1)重心．若点G是的重心，则或 (其中P为平面内任意一点)．反之，若，则点G是的重心．
(2)垂心．若H是的垂心，则.反之，若
，则点H是的垂心．
(3)内心．若点I是的内心，则.反之，若
，则点I是的内心．
(4)外心．若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.
典例4 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.
4．对任意m∈R,直线mx-y+1=0与圆x2+y2=r2r>0交于不同的两点A,B,且存在m使OA+OB≥AB (O是坐标原点)成立,那么r的取值范围是
A．0
2
典例5 设向量a=(2cosα，2sinα)，b=(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若以向量a＋b与a−2b为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β−α)=________.
【答案】
【解析】由题意知，|a＋b|=|a−2b|，所以a2＋2a·b＋b2=a2−4a·b＋4b2，所以2a·b=b2，即4cos(β−α)=1，所以cos(β−α)=.
【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.
5．G是的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角A=
A．90° B．60°
C．45° D．30°
典例6 一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
【答案】
6．在水流速度为的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________.
1．设向量，且，则的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知向量的夹角为π3,且|a|=1,|a+b|=7,则|b|等于
A．2 B．3
C．3 D．4
3．已知共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s=(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
4．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为
A．2 B．4
C．6 D．8
6．若向量满足,且,则向量a与b的夹角为
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
7．在中,若AB·BC=BC·CA=CA·AB,则该三角形是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．已知a,b,c,d为非零向量,且a+b=c,a-b=d,则下列命题正确的个数为
(1)若|a|=|b|,则c⋅d=0 (2)若c⋅d=0,则|a|=|b|
(3)若|c|=|d|,则a⋅b=0 (4)若a⋅b=0,则|c|=|d|
A．1 B．2
C．3 D．4
9．已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ满足
A．λ<− B．λ>−
C．λ>−且λ≠0 D．λ<−且λ≠−5
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=π3，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足BMBC=NCDC=λ，其中λ∈[0,1]，则AM⋅AN的取值范围是
A． B．[1,4]
C．[2,5] D．[1,7]
11．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若为的重心，则
的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
12．设平面向量，若，则等于 .
13．如图,在边长为3的正方形ABCD中,AC与BD交于点F,AE=13AD,则EF⋅BD= .
14．设向量，其中，若，则 .
15．已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为 .
1．（2017年高考新课标Ⅱ卷）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B．
C． D．
2．（2017年高考北京卷）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记，，，则
A． B．
C． D．
4．(2016年高考新课标Ⅱ卷) 已知向量，且，则m=
A．−8 B．−6
C．6 D．8
5．(2016年高考新课标Ⅲ卷) 已知向量, 则
A．30° B．45°
C．60° D．120°
6．（2017年高考新课标Ⅰ卷）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．
7．（2017年高考天津卷）在中，，，．若，
，且，则的值为___________．
8．（2017年高考山东卷）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是___________．
9．（2017年高考浙江卷）已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．
10．（2016年高考新课标Ⅰ卷）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=___________．
11．(2016年高考江苏卷) 如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是___________．
变式拓展
1．【答案】
2．【答案】
【解析】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴.
又当与反向时，夹角为180°，即，则，解得.
应该排除反向的情形，即排除，
于是实数λ的取值范围为.
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,;当夹角为180°时,,这是容易忽略的地方.
3．【答案】B
【解析】设，由于与的夹角为，则可设，
设，，故向量的终点在以为圆心，为半径的圆上，的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，故选B．
【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得的终点的轨迹方程，再根据平面几何知识求解.
4．【答案】C
5．【答案】D
【解析】因为G是的重心，所以有.又，所以a∶b∶c=1∶1∶1，设c=，则有a=b=1，由余弦定理可得，，所以A=30°，故选D.
6．【答案】
【解析】如图，代表水流速度，代表船自身航行的速度，而代表实际航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小为.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】，那么，解得，故选D.
2．【答案】A
【解析】因为a+b=7，所以a2+2a∙b+b2=7，所以b2+2bcosπ3+1=7，解得b=2.故本题选A.
3．【答案】D
4．【答案】D
【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．
5．【答案】C
【解析】设与的夹角为,则在方向上的投影为
,选C.
6．【答案】B
【解析】设向量的夹角为θ,由,可得,解得cosθ=12,根据θ∈[0,π],可知θ=π3.
7．【答案】D
【解析】设边AB的中点为D，则由AB·BC= CA·AB可得AB·CD=0,则AB⊥CD，CA=CB,同理可证CB=AB,所以该三角形是等边三角形.
8．【答案】D
故选D.
9．【答案】C
【解析】由题意知，向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，a(a＋λb)＞0，a２＋λab＞0，而a２=5，ab=1+2=3,则5+3λ>0,同时a，a＋λb不能共线且同向，则λ≠0，解得λ>−且λ≠0，选C.
10．【答案】C
11．【答案】C
【解析】设，，，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，由于是的重心，∴，由抛物线的性质得，，，∴，故选C.
12．【答案】
【解析】因为，所以，解得从而=(1,2), .
13．【答案】-3
【解析】由已知可知，AB⊥AD,则AB·AD=0，BD=AD-AB，EF=AF-AE=12AC-13AD=12AD+AB-13AD=16AD+12AB,则EF⋅BD=16AD+12AB·AD-AB=16AD2-12AB2+13AB·AD=96-92+0=-3.
14．【答案】
15．【答案】7
【解析】由题意得，为圆的直径，故可设，，，
∴，∴的最大值为圆
上的动点到点距离的最大值，从而易得当时，的最大值为.
直通高考
1．【答案】B
【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，故选B．
【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．【答案】A
3．【答案】C
【解析】因为，，，所以，
故选C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得，，进而得到．
4．【答案】D
【解析】由题意得，由得，解得，故选D.
【名师点睛】已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，夹角为θ，则
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cos θ=
cos θ=
a⊥b的充要条件
a·b=0
x1x2＋y1y2=0
5．【答案】A
【解析】因为向量,所以
，所以，故选A．
【名师点睛】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；
（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
6．【答案】
【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
7．【答案】
【解析】由题可得，则
．
【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．
8．【答案】
【名师点睛】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：.
（2）由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于的方程求解.
9．【答案】4，
【解析】设向量的夹角为，则，
，
则，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式，可得
，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
10．【答案】
【解析】由，得，即，所以，解得.
【名师点睛】全国卷中的向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则.
11．【答案】
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
