2005年北京市高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 设全集U=R，集合M={x|x>l}，P={x|x2>l}，则下列关系中正确的是（ ）
A.M=P B.P⊂M C.M⊂P D.CUM∩P=⌀
2. 为了得到函数y=2x-3-1的图象，只需把函数y=2x上所有点（ ）
A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
3. “m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若|a→|=1，|b→|=2，c→=a→+b→，且c→⊥a→，则向量a→与b→的夹角为( )
A.30∘ B.60∘ C.120∘ D.150∘
5. 从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（ ）
A.π B.2π C.4π D.6π
6. 对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）
A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.sin(α+β)>cosα+cosβ
C.cos(α+β)
0；④f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2．其中正确的命题序号是________．
14. 已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an．
如果在一种算法中，计算x0k(k=2, 3, 4,…,n)的值需要k-1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn(x0)的值共需要________次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x0)=a0．Pn+1(x)=xPn(x)+ak+1(k=0, l, 2,…,n-1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要________次运算．
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三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）
15. 已知tanα2=2，求
(1)tan(α+π4)的值
(2)6sinα+cosα3sinα-2cosα的值．
16. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．
(1)求证AC⊥BC1；
(2)求证AC1 // 平面CDB1；
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
17. 数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=13Sn，n=1，2，3，…，求
（1）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（2）a2+a4+a6+...+a2n的值．
18. 甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23．
（1）记甲恰好击中目标2次的概率；
（2）求乙至少击中目标2次的概率；
（3）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率；
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19. 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[-2, 2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
20. 如图，直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
（1）分别用不等式组表示W1和W2．
（2）若区域W中的动点P(x, y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（3）设不过原点O的直线l与（2）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
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参考答案与试题解析
2005年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.C
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9.x=-1,(1, 0)
10.-20
11.[-1, 2)∪(2, +∞)
12.2
13.①③④
14.12n(n+3),2n
三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）
15.解：(I)∵ tanα2=2，
∴ tanα=2tanα21-tan2α2
=2×21-4
=-43
∴ tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4
=tanα+11-tanα
=-43+11+43
=-17
(II)由( I)∵ tanα=-43
∴ 6sinα+cosα3sinα-2cosα
=6tanα+13tanα-2=
6(-43)+13(-43)-2
=766(-43)+13(-43)-2=76
16.(1)证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，
底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，
∴ AC⊥BC1；
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
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∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴ DE // AC1，
∵ DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴ AC1 // 平面CDB1；
(3)解：∵ DE // AC1，
∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，ED=12AC1=52，
CD=12AB=52，CE=12CB1=22，
∴ cos∠CED=82⋅22⋅52=225，
∴ 异面直线AC1与B1C所成角的余弦值225．
17.解：（1）由a1=1，an+1=13Sn，n=1，2，3，…，
得a2=13S1=13a1=13，a3=13S2=13(a1+a2)=49，a4=13S3=13(a1+a2+a3)=1627，
由an+1-an=13(Sn-Sn-1)=13an(n≥2)，得an+1=43an(n≥2)，
又a2=13，所以an=13(43)n-2(n≥2)，
∴ 数列{an}的通项公式为an=1n=113(43)n-2n≥2；
( II)由( I)可知a2，a4，…，a2n是首项为13，公比为(43)2项数为n的等比数列，
∴ a2+a4+a6+...+a2n=13⋅1-(43)2n1-(43)2=37[(43)2n-1]
18.解：（1）∵ 甲射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验
∴ 甲恰好击中目标的2次的概率为C32(12)3=38
（2）乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验
乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次
∴ 乙至少击中目标2次的概率为C32(23)2⋅(13)+C33(23)3=2027；
（3）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，
乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，
乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，
则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)=P(B1)+P(B2)=C32(23)2⋅13⋅C30(12)3+C33(23)3⋅C31(12)3=118+19=16．
∴ 乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16．
19.解：(1)f'(x)=-3x2+6x+9．
令f'(x)<0，解得x<-1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞, -1)，(3, +∞)．
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，
f(2)=-8+12+18+a=22+a，
所以f(2)>f(-2)．
因为在(-1, 3)上f'(x)>0，
所以f(x)在[-1, 2]上单调递增，
又由于f(x)在[-2, -1]上单调递减，
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2, 2]上的最大值和最小值，
于是有22+a=20，解得a=-2．
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故f(x)=-x3+3x2+9x-2，
因此f(-1)=1+3-9-2=-7，
即函数f(x)在区间[-2, 2]上的最小值为-7．
20.解：（1）根据图象可知阴影区域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上边，
故y的范围可知kx0
∴ W1={(x, y)|kx0}，
（2）直线l1:kx-y=0，直线l2:kx+y=0，由题意得|kx-y|k2+1⋅|kx+y|k2+1=d2，即|k2x2-y2|k2+1=d2，
由P(x, y)∈W，知k2x2-y2>0，
所以k2x2-y2k2+1=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；
（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a(a≠0)．
由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，
于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a, 0)，
所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为(23a, 0)，即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n(n≠0)．
由k2x2-y2-(k2+1)d2=0y=mx+n，得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2-m2≠0且
△=(2mn)2+4(k2-m2)×(n2+k2d2+d2)>0
设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则x1+x2=2mnk2-m2，y1+y2=m(x1+x2)+2n，
设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，
由y=kxy=mx+n得x3=nk-m，x4=-nk+m
从而x3+x4=2mnk2-m2=x1+x2，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
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