- 2021-06-12 发布 |
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文档介绍
专题40+抛物线(题型专练)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍
1.若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( ) A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x 【答案】C 【解析】由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x。故选C。 2.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5。所以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 【答案】C 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( ) A.2± B.2+ C.±1 D.-1 【答案】A 【解析】F,设P,Q(y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以y=y,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=+=2,解得p=2±。 4.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 5.直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8。 6.如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( ) A. B.2 C.+1 D.-1 【答案】C 【解析】由题意,因为两条曲线交点的连线过点F, 所以两条曲线的一个交点为, 代入双曲线方程得-=1, 又=c, 所以-4×=1,化简得c4-6a2c2+a4=0, 所以e4-6e2+1=0, 所以e2=3+2=(1+)2, 所以e=+1, 故选C。 7.若动圆的圆心在抛物线y=x2上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点( ) A.(0,2) B.(0,-3) C.(0,3) D.(0,6) 【答案】C 【解析】直线y+3=0是抛物线x2=12y的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y=-3的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3). 8.已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】设M(x,y),则由题意,得=2,=2,则x=4-,y=4.又点M在抛物线C上,所以42=2p,解得p=4,故选D. 9.已知点P(x0,y0)是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的一个动点,则x0+|PQ|的最小值为( ) A.2-1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 10.已知抛物线y2=2px(p>0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ为( ) A. B. C.3 D.2 【答案】D 【解析】把点A代入抛物线方程,得2=2p×,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0).设M, 则=,=. 由=λ, 得解得λ=2或λ=1(舍去),故选D. 11.已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是________________. 【答案】t>0或t<-3 12.设抛物线C:y2=2x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2,则|PF|=________. 【答案】 【解析】由题意知p=1,点P的横坐标xP=2,则由抛物线的定义, 得|PF|=xP+=2+=. 13.已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是________. 【答案】2x-y-3=0 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,且y=4x1,y=4x2,两式相减得2(y1-y2)=4(x1-x2),且x1≠x2,则直线AB的斜率kAB==2,又弦AB过点P,则所求直线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=__________. 【答案】2 【解析】y2=2px的准线为x=-. 由于△ABF为等边三角形. 因此不妨设A,B. 又点A,B在双曲线y2-x2=1, 从而-=1, 所以p=2. 15.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是________。 【答案】x2=-4y 【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y。 16.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点。若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________。 【答案】【1,+∞) 17.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是________。 【答案】(,+∞) 【解析】抛物线焦点F(1,0),由题意05,故e>。 18.已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1。 (1)求曲线C的方程; (2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B。直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由。 【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等。 所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y。 (2)设E(a,-2),切点为, 由x2=4y得y=, 所以y′=,所以=, 解得:x0=a±, 所以A, B, 化简直线AB方程得: y-2=x,所以直线AB恒过定点(0,2)。 19.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)。 (1)求抛物线的标准方程。 (2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程。 (3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程。 【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x2=4y。 x2-4k′x+4k′-4=0,所以x1+x2=4k′=2, 所以k′=,所以AB的方程为y-1=(x-1), 即x-2y+1=0。 20.已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1,0),过F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线m:x=-2相交于M,N两点。 (1)求抛物线C的方程。 (2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值。 21.如图872所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点. 图872 (1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程; (2)若线段|AB|=20,求直线l的方程. 【解析】 (1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0), 则由得 22.已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12. (1)求抛物线的方程; 学……科网 (2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程. 【解析】 (1)设l:x=my-2,代入y2=2px中, 得y2-2pmy+4p=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p, 则x1x2==4, 因为·=x1x2+y1y2=4+4p=12,可得p=2, 则抛物线的方程为y2=4x. (2)由(1)知y2=4x,p=2,可知y1+y2=4m,y1y2=8. 设AB的中点为M, 则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4.① 又|AB|=|y1-y2|=.② 由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2, 解得m2=3,m=±, 所以直线l的方程为 x+y+2=0或x-y+2=0. 23.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点. (1)若=2 ,求直线AB的斜率; (2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值. 查看更多