高中数学人教A版必修一教学训练(学生版)3_1_1

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高中数学人教A版必修一教学训练(学生版)3_1_1

‎(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)[来源:Zxxk.Com]‎ ‎1.函数f(x)=x-的零点有(  )‎ A.0个            B.1个 C.2个 D.无数个 解析: 令f(x)=0,即x-=0.‎ ‎∴x=±2.故f(x)的零点有2个,选C.‎ 答案: C ‎2.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点是-3,则它的另一个零点是(  )‎ A.-1 B.1‎ C.-2 D.2‎ 解析: 由根与系数的关系得 ‎-3+x=-,∴x=1.‎ 即另一个零点是1,故选B.‎ 答案: B ‎3.设函数f(x)=x3-x-2的零点为x0,则x0所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ 解析: 方法一:令f(x)=x3-x-2,‎ 则f(0)=0--2=-4<0,‎ f(1)=1--2=-1<0,‎ f(2)=23-0=7>0,[来源:Z&xx&k.Com]‎ f(3)=27-1=26>0,‎ f(4)=43-2=63>0,‎ ‎∴f(1)·f(2)<0,‎ 故x0所在的区间是(1,2).‎ 方法二:数形结合法,如图所示.‎ 答案: B ‎4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则(  )‎ A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0‎ C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0‎ 解析: y=2x在(1,+∞)上是增函数 y=在(1,+∞)上是增函数 ‎∴f(x)=2x+在(1,+∞)上是增函数.‎ ‎∴y=f(x)只有x0一个零点 ‎∴x1x0时,f(x2)>0.故选B.‎ 答案: B 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.函数f(x)=零点的个数为________.‎ 解析: x≤0时,令x2+2x-3=0‎ 解得x=-3‎ x>0时,f(x)=ln x-2在(0,+∞)上递增 f(1)=-2<0,f(e3)=1>0‎ 故在(0,+∞)上有且只有一个零点.‎ 答案: 2‎ ‎6.已知f(x)是R上的奇函数,函数g(x)=f(x+2),若f(x)有三个零点,则g(x)的所有零点之和为________.‎ 解析: ∵f(x)是R上的奇函数,图象关于原点对称,‎ ‎∴f(x)的三个零点中,一个是原点,另两个关于原点对称,不妨设为-x0,x0,即f(-x0)=f(x0)=f(0)=0.‎ ‎∵g(x)=f(x+2),设g(x)的零点为x1,‎ ‎∴g(x1)=f(x1+2)=0.‎ ‎∴x1+2=-x0或x1+2=x0或x1+2=0.‎ ‎∴g(x)的所有零点之和为-x0-2-2+x0-2=-6.‎ 答案: -6‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.‎ 解析: 方法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,‎ f(2)=4+lg 3-2>0,‎ ‎∴f(x)在(0,2)上必定存在零点,‎ 又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(0,+∞)上为增函数(图略),故f(x)有且只有一个零点.‎ 方法二:在同一坐标系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.‎ 由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,‎ 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.‎ ‎8.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.‎ 解析: 设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1‎ ‎∵f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,[来源:学科网]‎ ‎∴.即 ‎∴b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;‎ ‎(2)设x1,x2∈R,x1b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.‎ ‎∴Δ=b2-4ac≥-4ac>0.‎ ‎∴方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根,‎ ‎∴f(x)必有两个零点.‎ ‎(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)],‎ g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)].‎ ‎∵g(x1)·g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2,‎ 且f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0.‎ ‎∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.‎
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