高中数学复习 秒杀型推论

高中数学复习 秒杀型推论

高中数学秒杀型推论 1 高中数学秒杀型推论 一．函数 1. 抽象函数的周期 （1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a| （2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a| （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a （4）f(x-a)=f(x+a) T=2a （5）f(x+a)=-f(x) T=2a 2．奇偶函数概念的推广及其周期： （1）对于函数 f（x），若存在常数 a，使得 f（a-x）=f（a+x）， 则称 f（x）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数 a， b同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a| （2）若 f（a-x）=-f（a+x），则 f（x）是广义（Ⅰ）型奇 函数，当有两个相异实数 a，b 同时满足时，f（x）为周期 函数 T=2|b-a| 3.抽象函数的对称性 （1）若 f（x)满足 f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（ ， ）成中心对称（充要） （2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x） 则函数关于直线 x= 成轴对称（充要） 高中数学秒杀型推论 2 4.洛必达法则，设连续可导函数 f(x)和 g(x) 二、三角 1.三角形恒等式 （1）在△中， （2） 正切定理&余切定理： 在非 Rt△中，有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （3） （4） （5） 高中数学秒杀型推论 3 2．任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）： 在△ABC 中 a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA 3. 任意三角形内切圆半径 r= （S 为面积）， 外接圆半径 欧拉不等式：R>2r 4．梅涅劳斯定理 如下图，E.D.F 三点共线的充要条件是 高中数学秒杀型推论 4 5．塞瓦定理 如下图，AD、BE、CF 三线共点的充要条件是 6. 斯特瓦尔特定理： 如下图，设已知△ABC 及其底边上 B、C两点间的一点 D，则 有 AB² DC+AC² BD-AD² BC＝BC DC BD 7、和差化积公式（只记忆第一条） sinα+sinβ=2sin cos sinα-sinβ=2cos sin 高中数学秒杀型推论 5 cosα+cosβ=2cos cos cosα-cosβ=-2sin sin 8、积化和差公式 sinαsinβ=- cosαcosβ= sinαcosβ= cosαsinβ= 9、万能公式 10．三角混合不等式：若 x∈（0， ),sinx ＜x＜tanx 高中数学秒杀型推论 6 当 x→0时 sinx x tanx 11.海伦公式变式 如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分 别为 a.b.c，大三角形面积为 ?* 12.双曲函数 定义双曲正弦函数sinhx= ，双曲余弦函数coshx= 易知（1）奇偶性：sinhx 为奇函数，coshx 为偶函数 （2）导函数：（sinhx）’=coshx，（coshx）’=sinhx （3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy （4）复数域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x） （5）定义域：x∈R （6）值域：sinhx∈R，coshx∈[1，+∞） 13.三角形三边 a.b.c 成等差数列，则 高中数学秒杀型推论 7 14.三角形不等式 （1）在锐角△中， （2）在△中， （3）在△中，sinA>sinB cos2A>cos2B 15．ASA 的面积公式： 三、复数 1．欧拉公式（泰勒级数推出） cosθ+isinθ=eiθ 2．棣莫弗定理（欧拉公式推出） （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 3.复数模不等式（三角不等式） |z1+z2+∧+zn|≤|z1|+|z2|+∧+|zn| 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立 4． 5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d) 高中数学秒杀型推论 8 四、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项） 1.An+1=kAn+f(n) 两边同除以 kn+1，构造数列｛ ｝，通过累加法得出通项公式 2. An+1=kAn+C 设一常数 x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x 则（k-1）x=C，求出 x= ，得到等比数列｛ ｝,公比 为 k 3．不动点法： 形如 An+1= （d≠0，当 d=0 时，则是第二种情况）， 设函数 f(x)= ，x= 的根称为 f(x)的不动点， （1）若函数 f（x）有 2个不动点α，β 则数列{ }是一 个等比数列，A’n= = ，An= （2）若函数 f（x）只有一个不动点α 则数列{ }数一个 等差数列，A’n= （3）若函数 f（x）没有不动点，则数列{An}是周期数列， 高中数学秒杀型推论 9 周期自己找 4．特征方程法： 形如 An+2=pAn+1+qAn称为二阶递推数列， 我们可以用它的特征方程 x²-px-q=0 的根来求它的通项公式 （1）若方程有两根 x1，x2， 则 An= x1 n-1+ x2 n-1 ( , 可根据题目确定) （2）若只有一个根 x0 An=( + n)x0 n-1 ( , 可根据题目确定) 5．变系数一阶递推数列 四、不等式 1.权方和不等式（赫德尔不等式推出） 当且仅当 2.黎曼和-定积分不等式 级数与定积分之间的关系 设可积函数 f(x) 高中数学秒杀型推论 10 当 f(x)为减时， 当 f(x)为增时， 3．琴生不等式 函数的平均数与平均数的函数之间的关系 当 f(x)为凹函数，即 f’’（x）>0 时 当 f(x)为凸函数，即 f’’（x）<0 时 当且仅当 x1=x2=∧=xn时，等号成立 4.卡尔松不等式 5．排序不等式 当 且 时， 其中 以上可概括为 顺序和≥乱序和≥倒序和 高中数学秒杀型推论 11 5．切比雪夫总和不等式（排序不等式推出） 当 an与 bn逆序时 当 an与 bn顺序时 不等式反向 6．舒尔不等式（Schur 不等式） xt（x-y）（x-z）+yt（y-x）（y-z）+zt（z-x）(z-y)≥0 当 x=y=z 时，等号成立 配 Schur 法（Schur 分拆法） 三元齐三次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是 因为 f(x,y,z)=a +b + cxyz 三元齐四次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是 因为 高中数学秒杀型推论 12 f(x,y,z)= 三元齐五次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是 因为 f(x,y,z)= 7．常用对数不等式 当 x〉-1 时， 当且仅当 x=0 时等号成立 高中数学秒杀型推论 13 8.伯努利不等式 当 x≥-1，n≥0 时或 n为正偶数，x∈R时 （1+x）n≥1+nx 当 n=0 或 1，或 x=0 时等号成立 9．uvw 法和 pqr 法（解决三元对称轮换式） uvw 法：令 a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式 pqr 法：令 a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式 当 a.b.c 为非负实数时，用 uvw 法； 当 a,b,c∈R 时，用 pqr 法 10.SOS 法（配方法） 不解释 11．拉格朗日乘数法（解决条件极值问题） 已知 f(x,y,z)=0，求 F（x,y,z）的极值 构造拉格朗日函数 L=F（x,y,z）+λf(x,y,z) 对 F（x,y,z）分别关于 x,y,z，λ求偏导，得到四元方程组， 其中对 F（x,y,z）关于λ求偏导所得方程即 f(x,y,z)=0 解四元方程组所得解，即 F（x,y,z）的极值点，从而算出极 值。 由拉格朗日乘数法可知，所有对称轮换式的极值在 x=y=z 时 取到 12．拉格朗日乘数法推论（拉格朗日乘数法得到） 已知 x，y，z∈[a,b]，对称轮换式 F（x,y,z）的极值在 高中数学秒杀型推论 14 和 x=y=z 时取到 13．已知 a.b.c 为正实数，且 a+b+c=k，求证 证明： k=a+b+c=a+ 整理即得所求不等式 14．幂平均不等式 当且仅当 a1= =an时等号成立 15． 16． 17.双绝对值函数图像 高中数学秒杀型推论 15 18．a.b 为正数 当 mn>0 时， 当 mn<0 时， 五、排列组合 1．隔板法 I 把 n个元素放到 m个集合中，所得集合均非空，则有 种 x1+x2+∧+xm=n 的正整数解个数为 2.隔板法 II 把 n 个元素放到 m个集合中，所得集合可为空，则有 种 x1+x2+∧+xm=n 的非负整数解个数为 高中数学秒杀型推论 16 （a1x1+a2x2+∧+amxm） n展开式的项数为 3.圆排列 从 n个元素中抽取 m个元素，按照一定的顺序排列成一圈， 叫做一个圆排列，圆排列的个数 4.重复组合 从 n个元素中抽取 m个元素，元素可以重复选取，不管顺序， 组成一组，叫重复组合，重复组合个数 5．组合恒等式（只例举了最简洁的四个） 6.从互不相同的 n个非零数字中任取 m个，所得 m位数之和 为 S，S= ，其中 为 n个非零数字的算术平 均数 7．（ax+by）n展开式中，第 k项系数绝对值最大，则 高中数学秒杀型推论 17 其中[ ]表示高斯函数，即取整函数 六、解析几何 1．圆锥曲线统一极坐标方程 2．圆锥曲线统一焦点弦长公式 3．A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 当且仅当 时，三点共线 4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点共 圆的充要条件 5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三线共点的充 要条件 =0 6．过（x0，y0）引圆锥曲线 F（x,y）的弦，弦中点的轨迹方 程为 y-y0=F’（x,y）（x-x0）， 当（x0，y0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为 y-y0=F’（x0,y0） （x-x0） 高中数学秒杀型推论 18 7.定比分点公式： A（xA，yA），B（xB，yB），AB 的λ+1 等分点坐标为（ ） 8.若抛物线 y2=2px，AB 是抛物线上的动弦，kOAkOB=λ，则 AB 恒过定点（ ） 9.抛物线焦点弦性质： 抛物线焦点弦两端点 A（x1，y1）、B（x2，y2），焦点弦斜率为 k，焦点弦长度为 L （1）y1y2=-p 2 x1x2= x1+x2=p+ = y1+y2= （2）L=x1+x2+p= = = （3）k= （4） （5） 10．圆锥曲线焦点弦性质（通性）： 高中数学秒杀型推论 19 焦点弦长为 L， （1）已知 x1+x2时， 椭圆：L=2a-e（x1+x2） 双曲线：L=e -2a 抛物线：L= +p （2）已知焦点弦倾斜角 时， L= （3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦 的两个焦半径倒数之和为常数 双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差 为常数 （4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数 （5）圆锥曲线焦点弦 AB 的中垂线于对称轴（标准方程中为 x轴）于 D， 高中数学秒杀型推论 20 （6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径 11.圆锥曲线的焦半径（通性） （1）极点为焦点，极轴为 x轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的 为极径，即焦半径， 为极角 （2）已知焦半径端点的横坐标 x时 12．双焦点三角形面积： F1.F2为有心圆锥曲线两焦点 P为椭圆上一个点， P为双曲线上一个点， 13.圆锥曲线幂定理： 高中数学秒杀型推论 21 圆锥曲线 F（x,y）≡Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 与一条过 M（x0，y0）， 且倾斜角为 的直线 L交于 P1.P2两点，则 · = = 14.点 P（x0，y0）对圆锥曲线 C引两条切线，连结切点所得 线为切点弦（极线），或点 P（x0，y0）为切点，则极线方程 或切线方程为? （1）若 C为椭圆， （2）若 C为双曲线， （3）若 C为抛物线， 15.已知有心圆锥曲线 F（x,y），直线 l：f(x,y)，p 是 l 上 一点，射线 OP 交圆锥曲线于点 R，又点 Q 在 OB 上，且满足 ，当 P在 l上移动时，Q的轨迹方程即为 F （x,y）=f(x,y) 16．曲线族 F（x,y,t）的包络为 F（x,y,t）= =0 17. A（x1，y1），B（x2，y2），以 AB 为直径的圆的方程为（x-x1） （x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0 18.关于双曲线渐近线： 高中数学秒杀型推论 22 （1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换， 有相同渐近线， 四焦点共圆， 离心率的倒数平方和为 1： （2）焦点到渐近线距离为虚半轴长 b （3）若两渐近线夹角为 ，则双曲线离心率 e= （4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数 （5）过双曲线上任意一点 M 作平行于实轴的直线交两渐近 线于 P.Q，则 19．过有心圆锥曲线上一定点 P（x0，y0）作倾斜角互补的两 直线与有心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值 过无心圆锥曲线上上一定点 P（x0，y0）作倾斜角互补的 两直线与无心圆锥曲线的另两交点 A.B的连线的斜率为定值 以上情况中，∠APB 的角平分线 x=x0平行于 y 轴，ΔAPB 的 内切圆圆心恒过直线 x=x0. 20.圆锥曲线光学性质： 椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点 高中数学秒杀型推论 23 双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线 必过另一焦点 抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过 焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴 21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且 定值为 b2 22.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率 切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率 弦中点与中心连线的 斜率= 双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜 率 切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率 弦中点与中心连 线的斜率= 23.抛物线 y2=2px 内接 Rt△OAB（以 O为直角顶点），A（x1， y1）B（x2，y2） （1）x1x2=4p 2，y1y2=-4p 2 （2）AB 恒过顶点（2p,0） （3）AB 中点轨迹方程 y2=p（x-2p） （4）AB 边上高的垂足轨迹方程（x-p）2+y2=p2 （5）（S△OAB）min=（ ）min=4p 2 高中数学秒杀型推论 24 24.对于极坐标方程 ，从θ1到θ2，曲线所围成的面 积 S= 对于极坐标方程 ，从θ1到θ2，曲线所积出的长度 L= 25．圆锥曲线上一弦 AB，其中点 M（x0，y0），AB 的斜率为 （1）对于椭圆， （2）对于双曲线， （3）对于抛物线， 26.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点 P（x0，y0），另有 一直线 L于圆锥曲线交于与 P相异两点 A.B. 第一组：当 kPAkPB=λ（λ≠ ）时 1） 对于椭圆，L 恒过定点 2） 对于双曲线， L恒过定点 3） 对于抛物线， 高中数学秒杀型推论 25 L 恒过定点 第二组：当 kPA+kPB=λ（λ≠0）时 1） 对于椭圆，L 恒过定点 2） 对于双曲线， L恒过定点 3） 对于抛物线， L恒过定点 七、立体几何 1．万能求积公式： 2.设平面内三点 A.B.C， （x1，y1，z1）， （x2，y2，z2）， 则 该 平 面 的 法 向 量 为 3.空间余弦定理： 高中数学秒杀型推论 26 相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段，长度分别为 m.n，垂足距离为 d，另一端点之间距离为 L，则平面所成二 面角θ，满足 4.二面角射影定理： 如果平面α内的一个多边形面积为 S，它在平面β内的射影 面积为 S 射，α与β所成二面角为θ，则 5.三射线定理： 从 O 点引出三条不共面射线 OA.OB.OC，∠AOC=θ1，∠BOC= θ2，∠AOB=θ，二面角 A—OC—B=α，则 6.四面体 ABCD 相对棱 AC 与 BD（异面线段）所成角为α，则 7.四面体体积公式， 若四面体两条相对棱长为 a.b，它们的距离为 d，所成角为 θ，则四面体体积为 8.台体两底面面积为 S.S’，则中截面 S0满足 高中数学秒杀型推论 27 9.内切球半径公式： V为 n面体体积，S为 n面体表面积，则 10.旋转体体积公式： S 为凸多边形面积，d 为凸多边形重心到轴的距离，凸多边 形绕轴一周所形成的几何体体积为 V，则 11.四面体体积公式之行列式形式： AB.AC.AD 为 四 面 体 ABCD 的 三 条 共 点 棱 ， , V 四面体 ABCD=