【推荐】专题11+破译解析几何中点差法通法-2018版高人一筹之高三数学（理）二轮复习特色专题训练

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一、填空题 ‎1．若过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点,且P是线段AB的中点,则直线AB的方程是_________________.‎ ‎【答案】2x-y-15=0‎ ‎【解析】设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x12-4y12=4,x22-4y22=4,两式相减得(x1-x2) (x1+x2)=4(y1-y2)(y1+y2),即=2,∴kAB=2.∴AB:2x-y-15=0.‎ ‎2．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2=4的一条弦,则这条弦所在直线的斜率是_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎3．椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 上 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将椭圆方程中的变为，变为，右边变为0，于此得到椭圆 上斜率为1的弦的中点在直线上.‎ 类比上述结论，将双曲线的方程作为上述变换可知：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线.‎ 考点：1.类比的思想；2.新定义题.‎ 二、解答题 ‎4．已知两点A（－2,0）和B（2,0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x－1）2＋y2＝r2（0＜r＜）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．‎ ‎【答案】（1） （x≠±2；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设点M（x，y），由题意可得，利用斜率计算公式即可得出．化简即可．（2）把x=1代入曲线C的方程，可得点．由于圆（x－1）2＋y2＝r2的圆心为（1，0），利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数．设直线PE的方程为，与椭圆的方程联立可得坐标．进而确定直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得．利用弦长公式可得|RQ|．再利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线RQ的距离为d．利用和基本不等式即可得出 试题解析：（1）设点M（x，y），因为kAMkBM＝－， ‎ 所以，‎ 整理得点M所在的曲线的方程为 （x≠±2）．‎ 把直线RQ的方程y＝x＋b代入椭圆方程，消去y整理得x2＋bx＋b2－3＝0，‎ 所以|RQ|＝·‎ ‎＝，‎ 原点O到直线RQ的距离为d＝，‎ 所以S△ORQ＝··＝≤‎ 考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．轨迹方程 ‎5．已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P为线段AB的中点,求k1;‎ ‎(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.‎ ‎【答案】(1) +=1 (2) - (3)证明见解析 （0,-）‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则+=1,①‎ +=1.②‎ ‎②-①,得+=0.‎ 所以k1==-=-=-.‎ ‎(3)依题设,k1≠k2.‎ 设M (xM,yM),‎ 又直线AB的方程为y-1=k1(x-1),‎ 即y=k1x+(1-k1),‎ 亦即y=k1x+k2,‎ 代入椭圆方程并化简得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.‎ 于是,xM=,yM=,‎ 同理,xN=,yN=.‎ 此时直线过定点（0,-）.‎ 当k1k2=0时,直线MN即为y轴,‎ 此时亦过点（0,-）.‎ 综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,-）.‎ ‎6．在直角坐标系中，为坐标原点，如果一个椭圆经过点P(3,),且以点F(2,0)为它的一个焦点.‎ ‎（1）求此椭圆的标准方程；‎ ‎（2）在（1）中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)既然是求椭圆的标准方程，那么另一个焦点必定是点，，，即，，可得椭圆标准方程为；(2)只要知道本题中(斜率存在时)，利用这个等式可迅速求出结论。‎ 试题解析：(1)设椭圆方程为：，‎ 则有： 解得：，‎ 故所求椭圆方程为. 5分 综上所述，所求轨迹方程为. 10分 考点：(1)椭圆的标准方程；(2)轨迹方程.‎ ‎7．已知椭圆，‎ ‎（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。‎ ‎（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程；‎ ‎（3）过点P（0.5,0.5）且被P点平分的弦所在直线的方程。‎ ‎【答案】 （1）y=；‎ ‎（2）(去除包含在椭圆内部的部分)；‎ ‎（3）2x+4y-3=0。‎ ‎【解析】 (1)设这些平行弦的方程为y=2x+m,弦的中点为M(x,y).‎ 联立直线方程和椭圆方程:y=2x+m,消去y得,‎ ‎,‎ 因此=-,.‎ M的坐标是:x=,y=2x+m,,消去m得:y=.‎ ‎ ‎ ‎(3)由(2)可得弦所在直线的斜率为k==,因此所求直线方程是:‎ y-=-(x-),化简得:2x+4y-3=0. ‎ ‎8．（本小题满分13分） 已知过点（1，0）的直线相交于P、Q两点，PQ中点坐标为（O为坐标原点）。 （I）求直线的方程； （II）证明：为定值。‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】（I）设‎②‎ ‎①‎ （2分）①—②得 中点坐标为 则直线的方程为（4分）消去y得 ‎③‎ 于是 ‎（6分）‎ ‎ ‎ ‎9.已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ，或.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意，得 ‎.‎ 所求的椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.‎ 由平行四边形法则知：.‎ 由得：.‎ ‎………………………………………………………………………①‎ 若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在. ‎ 由得：‎ ‎ ………………………………………………………………………②‎ ‎ ‎ ‎10.设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． ‎ ‎（Ⅰ）试求双曲线C的方程； ‎ ‎（Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求； ‎ ‎（Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线 (为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的值存在，.‎ ‎（Ⅱ）由得：.‎ 设，则.‎ ‎.‎ ‎（Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线. 因而，从而. 设线段AB的中点为.‎ 由得：，.…………………………………………①‎ 由得：.…………………………………………………②‎ 由①、②得：.‎ 由得：，.‎ 又由得：‎ 直线与双曲线C相交于A、B两点，‎ ‎＞0，即＜6，且. ‎ 符合题意的的值存在，.‎ ‎11.设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.‎ ‎（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F；（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 由得：.‎ 所求的直线的方程为，即 ‎12.设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.确定的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎【答案】‎ ‎13.设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？‎ ‎【答案】（1）；（2）略 ‎【解析】（1），焦点在上. 由得：，.‎ 所求的直线AB方程为，即.‎ ‎（2）设直线CD的方程为，点在直线CD上，‎ ‎，.‎ 直线CD的方程为.‎ 又设弦CD的中点为，由得：，即.‎ 由得.‎ 点M的坐标为.‎ 又由得.‎ 由两点间的距离公式可知：.‎ 故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.‎ ‎14.已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由 ‎【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：，设点M的坐标为.‎ 代入，得：，‎ 整理得：.‎ ‎， ‎ ‎，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.‎ 故抛物线C在点N处的切线与AB平行.‎ 设，则.‎ ‎.‎ ‎. 即.‎ 化简，得：，即.‎ ‎.‎ 故存在实数，使.‎