函数模型及其应用

函数模型及其应用

‎ ‎ 函数模型及其应用（共2课时）‎ ‎［教学目标］‎ 通过实际问题的解答，了解利用数学方法处理实际问题的一般步骤．‎ ‎［学法指导］‎ ‎1.重点是根据已知条件建立函数关系式，难点是数学建模意识的逐步建立．‎ ‎2.通过利用数学模型解决实际问题的过程，培养严谨的思维，强化分析问题和解决问题的能力．‎ 例1,某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量X（台）的函数关系式。‎ 例2‎ 7‎ ‎ ‎ ‎, 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？‎ 例3 ,在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x) =f(x+1) －f(x)，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台 ‎(X∈N﹡)的收入函数为R(x)=3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差。‎ ‎(1),求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；‎ ‎(2)利润函数P(x)与边际函数MP(x)是否具有相同的最大值？‎ 7‎ ‎ ‎ 例4，某自来水厂的蓄电池中有水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时的速度向池中注水。若小时内向居民供水总量为，问：每天几点时蓄水池中的存水量最少？‎ 例5, 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则, 其中Ta表示环境温度， h称为半衰期。‎ 现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温倒35℃时，需要多长时间（结果精确到0.1）？‎ 7‎ ‎ ‎ 例6，使用冰箱时排放的氟化物对臭氧有影响，若臭氧含量与时间具有关系式，其中是臭氧的初始量。‎ 试求臭氧含量的最小值？‎ ‎ ‎ 例7，某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定为元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过件．‎ ‎⑴设一次订购量为件，服装实际出厂单价为元，写出函数的表达式；‎ ‎⑵当销售商一次订购了多少件服装时，该服装厂获得的利润最大，最大利润为多少？‎ 7‎ ‎ ‎ 例2，分析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析。‎ 解法：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．‎ 数量（份）‎ 价格（元）‎ 金额（元）‎ 买进 ‎30‎ ‎0.20‎ ‎6x 卖出 ‎20x＋10×250‎ ‎0.30‎ ‎6x＋750‎ 退回 ‎10（x－250）‎ ‎0.08‎ ‎0.8x－200‎ ‎　　则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．‎ ‎　　y在x［250，400］上是一次函数．‎ ‎　　∴x＝400元时，y取得最大值870元．‎ ‎　　答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．‎ 评注：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．这里自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．‎ 例4，【分析】由题意提炼数学模型是基本，但是根据实际意义找定义域是最重要的，“取整”“取正”是此类问题十分重要的细节，明确此事再利用各种方法求最值及列出不等式求解.‎ 7‎ ‎ ‎ ‎【解法】⑴设点时（即从零点起后）池中的存水量为 ，则 ‎∴当，即时取得最小值.‎ 即每天早晨点时蓄水池中的存水量最少，仅剩 .‎ ‎ 　　⑵由 ‎ 即时，池中存水将不多于，由知每天将出现供水紧张现象.‎ ‎【评注】列出函数关系式注意自变量取“取正”，然后在定义域内找出所求范围，二次函数特点注意所求区间是否单调．‎ 例7，【分析】服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本，应注意实际问题中的定义域．‎ ‎【解法】⑴当时，；‎ ‎　　　　　当时，．‎ ‎　　　　　所以．‎ ‎　　　　⑵设销售商的一次订购量为件时，工厂获得的利润为元，‎ ‎　　　　　则．‎ ‎　　　　　当时，．‎ ‎　　　　因此，当销售商一次订购了件服装时，该服装厂获得的利润是元．‎ 7‎ ‎ ‎ ‎【评注】解营销类问题需理解有关名词，掌握有关计算公式，并巧妙的建立函数关系式．本题数学模型为分段函数问题．‎ 7‎