专题51 二项式定理常见的解题策略-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题51 二项式定理常见的解题策略-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数 使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数 解题模板：第一步 首先求出二项展开式的通项；‎ 第二步 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1. 展开式中第3项的二项式系数为（ ）‎ A．6 B．‎-6 C．24 D．-24‎ ‎【答案】A ‎【变式演练1】二项式展开式中，项的系数为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，所以由得系数为 ‎ 考点：二项式定理 ‎【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎【变式演练2】的展开式中项的系数为20，则实数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：二项式展开式的通项为，令，解得，故展开式中项的系数为，解得. ‎ 考点：二项式定理．‎ ‎【变式演练3】求的展开式中的系数.‎ ‎【答案】．‎ 考点：二项式定理．‎ 类型二 二项式系数的性质与各项系数和 使用情景：二项式系数的性质与各项系数和 解题模板：第一步 观察题意特征，合理地使用赋值法；‎ 第二步 区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 【2018河北衡水模拟】若的展开式中的二项式系数和为， 的系数为，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选 ‎ ‎【变式演练4】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．‎ ‎【答案】14.‎ 考点：1、二项式定理的应用.‎ ‎ ‎ 类型三 二项式定理的应用 使用情景：使用二项式定理处理整除问题 解题模板：第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；‎ 第二步 再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，‎ r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 .设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )‎ A．0 B．‎1 C．11 D．12‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 点评：在使用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．‎ ‎【变式演练5】S＝C＋C＋…＋C除以9的余数为________．‎ ‎【答案】7.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：二项式定理． ‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标1，理6】展开式中的系数为 A．15 B．‎20 ‎ C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.‎ ‎【考点】二项式定理 ‎【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.‎ ‎2．【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为 A． B． C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎3.【2017浙江，13】已知多项式32=，则 ‎=________，=________．‎ ‎【答案】16，4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得 ‎ ‎【考点】二项式定理 ‎【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．‎ ‎4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ ‎【考点】二项式定理 ‎【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.‎ ‎5.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为 ‎（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4‎ ‎【答案】A ‎ 6. 【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的范围分析.‎ ‎7. 【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ 考点:二项式定理 ‎8 【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为． ‎ 考点：二项式定理 ‎9. 【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以由，因此 考点：二项式定理 ‎【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.‎ ‎10.【2015高考天津，理12】在 的展开式中，的系数为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【2018广西桂梧高中联考】的展开式的第4项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.‎ ‎2. 【2018陕西西安长安区联考】若，则的展开式中常数项为 A. 8 B. ‎16 C. 24 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵∴的通项公式为 令，即 ‎∴二项式展开式中常数项是，故选C ‎3. 【2018东北名校联考】若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令 ‎，可得．故本题答案选．‎ ‎4．【2018陕西两校联考】的展开式中的系数是（ ）‎ A. 56 B. ‎84 C. 112 D. 168‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据和的展开式的通项公式可得， 的系数为,故选D.‎ ‎5．【2018广西南宁摸底联考】的展开式中项的系数为（ ）‎ A. 80 B. C. D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B.‎ ‎6．【2018云南昆明一中摸底】二项式展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 7．【2018广西柳州摸底联考】的展开式中， 的系数为（ ）‎ A. 60 B. C. 240 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C.‎ ‎8．【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 考点：二项式定理.‎ ‎9．【2018广西南宁八中摸底】在的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A. 60 B. ‎160 C. 180 D. 240‎ ‎【答案】D ‎【解析】二项式的通项公式为 ‎，令，所以含的项的系数是，故选D ‎10．【2018陕西名校五校联考】的展开式中常数项为( )‎ A. B. C. D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】 的通项为， ，根据式子可知当 或 时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为 ，故选C.‎ ‎11．【2018江西新余一中二模】在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（ ）‎ A. 6 B. ‎9 C. 12 D. 18‎ ‎【答案】B ‎ 12．【2018四川德阳三校联考】已知,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】含的项的系数为，故填.‎ ‎13. 【2018福建四校联考】在的二项展开式中， 的项的系数是_______.（用数字作答）‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】根据二项式定理, 的通项为，‎ 当时,即r=4时,可得.‎ 即项的系数为70.‎ ‎14. 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在的展开式中，常数项是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一个括号取，第二个括号为 ‎∴常数项是 故答案为： ‎ ‎15. 【2018江西宜春六校联考】若，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎ ‎ ‎ 16. 【2018山西山大附中四调】 ，则__________．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】令 ，则，‎ 设的展开式含有项， ，令 ， ，所以.‎ ‎17. 【2018辽宁凌源三校联考】在的展开式中，含项的为， 的展开式中含项的为，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式的通项公式为： ，‎ 令可得： ，则，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎